Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2 24026
 Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part two. If 𝐹 is a function continuous on [𝐴, 𝐵] and continuously differentiable on (𝐴, 𝐵), then the integral of the derivative of 𝐹 is equal to 𝐹(𝐵) − 𝐹(𝐴). This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc2.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc2.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc2.i (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡

Proof of Theorem ftc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10301 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ftc2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10301 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ftc2.le . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
6 ubicc2 12502 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 fvex 6363 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴) ∈ V
98fvconst2 6634 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴))
11 eqid 2760 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1211subcn 22890 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
15 ssid 3765 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
17 ioossre 12448 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
19 ftc2.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
20 ftc2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
21 cncff 22917 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2314, 1, 3, 5, 16, 18, 19, 22ftc1a 24019 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24 ftc2.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
25 cncff 22917 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2726feqmptd 6412 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
2827, 24eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2911, 13, 23, 28cncfmpt2f 22938 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
30 ax-resscn 10205 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
32 iccssre 12468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
331, 3, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
34 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
363adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 elicc2 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
391, 3, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4039biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4140simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
42 iooss2 12424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4337, 41, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
44 ioombl 23553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol)
4634a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
4722feqmptd 6412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
4847, 19eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
5043, 45, 46, 49iblss 23790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
5135, 50itgcl 23769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
5226ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5351, 52subcld 10604 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
5411tgioo2 22827 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
55 iccntr 22845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
561, 3, 55syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5731, 33, 53, 54, 11, 56dvmptntr 23953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))))
58 reelprrecn 10240 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
60 ioossicc 12472 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6160sseli 3740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6261, 51sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
6322ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
6414, 1, 3, 5, 20, 19ftc1cn 24025 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D 𝐹))
6531, 33, 51, 54, 11, 56dvmptntr 23953 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)))
6622feqmptd 6412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
6764, 65, 663eqtr3d 2802 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
6861, 52sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6931, 33, 52, 54, 11, 56dvmptntr 23953 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))))
7027oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))))
7170, 66eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
7269, 71eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
7359, 62, 63, 67, 68, 63, 72dvmptsub 23949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
7463subidd 10592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
7574mpteq2dva 4896 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
7657, 73, 753eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
77 fconstmpt 5320 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0)
7876, 77syl6eqr 2812 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
791, 3, 29, 78dveq0 23982 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥))) = ((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)}))
8079fveq1d 6355 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐵) = (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵))
81 oveq2 6822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝐵))
82 itgeq1 23758 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝐵) → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
84 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
8583, 84oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
86 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))
87 ovex 6842 . . . . . . 7 (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)) ∈ V
8885, 86, 87fvmpt 6445 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐵) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
897, 88syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐵) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
9080, 89eqtr3d 2796 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
91 lbicc2 12501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
922, 4, 5, 91syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
93 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝐴))
94 iooid 12416 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐴) = ∅
9593, 94syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴(,)𝑥) = ∅)
96 itgeq1 23758 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝑥) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫∅((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫∅((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
98 itg0 23765 . . . . . . . . 9 ∫∅((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = 0
9997, 98syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = 0)
100 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
10199, 100oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) = (0 − (𝐹𝐴)))
102 df-neg 10481 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) = (0 − (𝐹𝐴))
103101, 102syl6eqr 2812 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) = -(𝐹𝐴))
104 negex 10491 . . . . . 6 -(𝐹𝐴) ∈ V
105103, 86, 104fvmpt 6445 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
10692, 105syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
10710, 90, 1063eqtr3d 2802 . . 3 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)) = -(𝐹𝐴))
108107oveq2d 6830 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) + (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵))) = ((𝐹𝐵) + -(𝐹𝐴)))
10926, 7ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
11034a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
111110, 48itgcl 23769 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
112109, 111pncan3d 10607 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) + (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵))) = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
11326, 92ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
114109, 113negsubd 10610 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) + -(𝐹𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
115108, 112, 1143eqtr3d 2802 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287   − cmin 10478  -cneg 10479  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  ℂfldccnfld 19968  intcnt 21043   Cn ccn 21250   ×t ctx 21585  –cn→ccncf 22900  volcvol 23452  𝐿1cibl 23605  ∫citg 23606   D cdv 23846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850 This theorem is referenced by:  ftc2ditglem  24027  itgparts  24029  itgsubstlem  24030  ftc2re  31006  itgpowd  38320  lhe4.4ex1a  39048  itgsin0pilem1  40686  itgcoscmulx  40706  itgsincmulx  40711  dirkeritg  40840  etransclem46  41018
 Copyright terms: Public domain W3C validator