Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 24024
 Description: Lemma for ftc1 24025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑧   𝑧,𝐺   𝑡,𝐴,𝑥,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑧   𝜑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑧   𝑥,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9 ftc1.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿t ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 24021 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
145, 8sseldd 3753 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1513, 14ffvelrnd 6503 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
16 cnxmet 22796 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 ax-resscn 10195 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
186, 17syl6ss 3764 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1918adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐷 ⊆ ℂ)
20 xmetres2 22386 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2116, 19, 20sylancr 575 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2216a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
23 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
2412cnfldtopn 22805 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 22549 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2811, 27syl5eq 2817 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2928oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6334 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
319, 30eleqtrd 2852 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
3231adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
33 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 22570 . . . . 5 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
36 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3714ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶𝐷)
3836, 37ovresd 6948 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (𝑦(abs ∘ − )𝐶))
3918adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4039sselda 3752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
41 iccssre 12460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
422, 3, 41syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4342, 17syl6ss 3764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
44 ioossicc 12464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4544, 8sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4643, 45sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4948cnmetdval 22794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5040, 47, 49syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5138, 50eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5251breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣))
5313adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5515ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5648cnmetdval 22794 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5754, 55, 56syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5857breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
5952, 58imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
6059ralbidva 3134 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
61 simprll 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
62 eldifsni 4457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → 𝑠𝐶)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠𝐶)
642ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
664ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
675ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
686ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
697ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
719ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
73 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
74 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
76 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑢𝐶)))
7776breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣))
78 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑢 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑢))
7978fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))))
8079breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8177, 80imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8281rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8375, 82sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8461eldifad 3735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
85 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)
861, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 83, 84, 85ftc1lem5 24023 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑠𝐶) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8763, 86mpdan 667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8887expr 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8988adantld 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9089expr 444 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9190ralrimdva 3118 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9260, 91sylbid 230 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9392anassrs 458 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9493reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9535, 94mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9695ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
971, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 24019 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
9897, 43, 45dvlem 23880 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
9998, 72fmptd 6527 . . 3 (𝜑𝐻:((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})⟶ℂ)
10043ssdifssd 3899 . . 3 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
10199, 100, 46ellimc3 23863 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))))
10215, 96, 101mpbir2and 692 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247   ↾ cres 5251   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137   < clt 10276   ≤ cle 10277   − cmin 10468   / cdiv 10886  ℝ+crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  abscabs 14182   ↾t crest 16289  TopOpenctopn 16290  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  ℂfldccnfld 19961   CnP ccnp 21250  𝐿1cibl 23605  ∫citg 23606   limℂ climc 23846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850 This theorem is referenced by:  ftc1  24025
 Copyright terms: Public domain W3C validator