MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 23998
Description: Lemma for ftc1 24000. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12444 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3741 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 12448 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8 ftc1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
97, 8sseldi 3738 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
104, 9sseldd 3741 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 10364 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)))
1211biimpa 502 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋))
135adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
146adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
1614, 15ltned 10361 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋𝐶)
17 eldifsn 4458 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋𝐶))
1813, 16, 17sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19 fveq2 6348 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑋 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑋))
2019oveq1d 6824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)))
21 oveq1 6816 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐶) = (𝑋𝐶))
2220, 21oveq12d 6827 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
23 ftc1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
24 ovex 6837 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6440 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
2618, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (𝐿t ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 23996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 23994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3837, 5ffvelrnd 6519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
3937, 9ffvelrnd 6519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39subcld 10580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
4140adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
426recnd 10256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4310recnd 10256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4442, 43subcld 10580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4544adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4642, 43subeq0ad 10590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
4746necon3bid 2972 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋𝐶))
4847biimpar 503 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
4916, 48syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
5041, 45, 49div2negd 11004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
5138, 39negsubdi2d 10596 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)))
5242, 43negsubdi2d 10596 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑋𝐶) = (𝐶𝑋))
5351, 52oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5453adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5655oveq1d 6824 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶)) = ((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶)))
5756fveq2d 6352 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))))
58 ftc1.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
59 ftc1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
60 ftc1.fc . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
61 ftc1.x2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
6243subidd 10568 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐶) = 0)
6362abs00bd 14226 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) = 0)
6459rpgt0d 12064 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑅)
6563, 64eqbrtrd 4822 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) < 𝑅)
6627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 58, 59, 60, 5, 61, 9, 65ftc1lem4 23997 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
6757, 66eqbrtrd 4822 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
685adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6910adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
70 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
7169, 70gtned 10360 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋𝐶)
7268, 71, 17sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
7372, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
7473oveq1d 6824 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → ((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶)) = ((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶)))
7574fveq2d 6352 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))))
7627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 58, 59, 60, 9, 65, 5, 61ftc1lem4 23997 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7775, 76eqbrtrd 4822 . . 3 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7867, 77jaodan 861 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7912, 78syldan 488 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  cdif 3708  wss 3711  {csn 4317   class class class wbr 4800  cmpt 4877  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124   < clt 10262  cle 10263  cmin 10454  -cneg 10455   / cdiv 10872  +crp 12021  (,)cioo 12364  [,]cicc 12367  abscabs 14169  t crest 16279  TopOpenctopn 16280  fldccnfld 19944   CnP ccnp 21227  𝐿1cibl 23581  citg 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cc 9445  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-disj 4769  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-ofr 7059  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-omul 7730  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-acn 8954  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-cmp 21388  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-ovol 23429  df-vol 23430  df-mbf 23583  df-itg1 23584  df-itg2 23585  df-ibl 23586  df-itg 23587  df-0p 23632
This theorem is referenced by:  ftc1lem6  23999
  Copyright terms: Public domain W3C validator