MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem4 24001
Description: Lemma for ftc1 24004. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
ftc1.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
84, 7sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9 ltle 10318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
106, 8, 9syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
1110imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
12 ftc1.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
13 ftc1.le . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
14 ftc1.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
15 ftc1.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
16 ftc1.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
17 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
19 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
20 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
21 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
2212, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ftc1lem3 24000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
2312, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7ftc1lem1 23997 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
2411, 23syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
251rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
26 elicc2 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
271, 2, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
285, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
2928simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
30 iooss1 12403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
3125, 29, 30syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
322rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
33 elicc2 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
341, 2, 33syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
357, 34mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
3635simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌𝐵)
37 iooss2 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3832, 36, 37syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3931, 38sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4039, 14sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
4140sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
4222ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4341, 42syldan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4414, 17sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐷)
4522, 44ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4743, 46npcand 10588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) = (𝐹𝑡))
4847itgeq2dv 23747 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
4943, 46subcld 10584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
50 ioombl 23533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
52 fvexd 6364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
5322feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
5453, 16eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5540, 51, 52, 54iblss 23770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
56 fconstmpt 5320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶))
57 mblvol 23498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
5850, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
59 ioossicc 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
61 iccmbl 23534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
626, 8, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
63 mblss 23499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
65 mblvol 23498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
67 iccvolcl 23535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
686, 8, 67syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6966, 68eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
70 ovolsscl 23454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
7160, 64, 69, 70syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
7258, 71syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
73 iblconst 23783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
7451, 72, 45, 73syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
7556, 74syl5eqelr 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ 𝐿1)
7643, 55, 46, 75iblsub 23787 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ 𝐿1)
7749, 76, 46, 75itgadd 23790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
7848, 77eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
7978adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
80 itgconst 23784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
8151, 72, 45, 80syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
8281adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
836adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
848adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
85 ovolioo 23536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
8683, 84, 11, 85syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
8758, 86syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
8887oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
8982, 88eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
9089oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
9124, 79, 903eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
9291oveq1d 6828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
93 ovexd 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ V)
9493, 76itgcl 23749 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
9594adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
9645adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
978, 6resubcld 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
9897adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
9998recnd 10260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
10096, 99mulcld 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
1016, 8posdifd 10806 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
102101biimpa 502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
103102gt0ne0d 10784 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
10495, 100, 99, 103divdird 11031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
10596, 99, 103divcan4d 10999 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝐶))
106105oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
10792, 104, 1063eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
108107oveq1d 6828 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)) − (𝐹𝐶)))
10995, 99, 103divcld 10993 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
110109, 96pncand 10585 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
111108, 110eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
112111fveq2d 6356 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
11395, 99, 103absdivd 14393 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
114 0re 10232 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
115 ltle 10318 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
116114, 98, 115sylancr 698 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
117102, 116mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
11898, 117absidd 14360 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
119118oveq2d 6829 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
120112, 113, 1193eqtrd 2798 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
12194abscld 14374 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
122121adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
12349abscld 14374 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ)
12493, 76iblabs 23794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ 𝐿1)
125123, 124itgrecl 23763 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
126125adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
127 ftc1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
128127rpred 12065 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
12997, 128remulcld 10262 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
130129adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
13149, 76itgabs 23800 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
132131adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
133102, 87breqtrrd 4832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (vol‘(𝑋(,)𝑌)))
134128adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
135 fconstmpt 5320 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
136128recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
137 iblconst 23783 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
13851, 72, 136, 137syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
139135, 138syl5eqelr 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
140134, 139, 123, 124iblsub 23787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
141140adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
142 ftc1.fc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
143142ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
144143adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
14515, 44sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
146 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
147146rpred 12065 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
148145, 147resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
149148adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
1506adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
15140, 15sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
152151sselda 3744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
153 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
1546, 145, 147absdifltd 14371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅))))
155153, 154mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅)))
156155simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝑋)
157156adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑋)
158 eliooord 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
159158adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
160159simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
161149, 150, 152, 157, 160lttrd 10390 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑡)
1628adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
163145, 147readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
165159simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
166 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
1678, 145, 147absdifltd 14371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅))))
168166, 167mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅)))
169168simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
171152, 162, 164, 165, 170lttrd 10390 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))
172145adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℝ)
173147adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
174152, 172, 173absdifltd 14371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝐶 + 𝑅))))
175161, 171, 174mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅)
176 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑦𝐶) = (𝑡𝐶))
177176fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑡𝐶)))
178177breq1d 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅))
179 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑡 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑡))
180179oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))
181180fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))
182181breq1d 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
183178, 182imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
184183rspcv 3445 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐷 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
18541, 144, 175, 184syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
186 difrp 12061 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
187123, 134, 186syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
188185, 187mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
189188adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
190133, 141, 189itggt0 23807 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡)
191134, 139, 123, 124itgsub 23791 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
192191adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
193 itgconst 23784 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
19451, 72, 136, 193syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
195194adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
19687oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
19797recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
198136, 197mulcomd 10253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
199198adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
200195, 196, 1993eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
201200oveq1d 6828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
202192, 201eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
203190, 202breqtrd 4830 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
204125, 129posdifd 10806 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)))
205204biimpar 503 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
206203, 205syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
207122, 126, 130, 132, 206lelttrd 10387 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
20895abscld 14374 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
209128adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
210 ltdivmul 11090 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
211208, 209, 98, 102, 210syl112anc 1481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
212207, 211mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
213120, 212eqbrtrd 4826 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  +crp 12025  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371  abscabs 14173  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  fldccnfld 19948   CnP ccnp 21231  vol*covol 23431  volcvol 23432  𝐿1cibl 23585  citg 23586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636
This theorem is referenced by:  ftc1lem5  24002
  Copyright terms: Public domain W3C validator