Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem4 33801
Description: Lemma for ftc1anc 33806. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 10260 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
3 i1ff 23642 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
43ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
54recnd 10260 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
6 subcl 10472 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
72, 5, 6syl2anr 496 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
87anandirs 909 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
98abscld 14374 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
109rexrd 10281 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
118absge0d 14382 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
12 elxrge0 12474 . . . . 5 ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
1310, 11, 12sylanbrc 701 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2760 . . . 4 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
1513, 14fmptd 6548 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16153adant2 1126 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
17 reex 10219 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
19 fvexd 6364 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ V)
20 fvexd 6364 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ V)
21 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
22 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
2318, 19, 20, 21, 22offval2 7079 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
2423fveq2d 6356 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
2625feqmptd 6411 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
27 absf 14276 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
2928feqmptd 6411 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
30 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺𝑡)))
312, 26, 29, 30fmptco 6559 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
3231adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
33 iblmbf 23733 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
34 ftc1anclem1 33798 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3533, 34sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3635ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3732, 36eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
38373adant1 1125 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
392abscld 14374 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
402absge0d 14382 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
41 elrege0 12471 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡))))
4239, 40, 41sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
43 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
4442, 43fmptd 6548 . . . . . 6 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
45443ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
46 iftrue 4236 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺𝑡)))
4746mpteq2ia 4892 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
4847fveq2i 6355 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
491adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
50 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
5150feqmptd 6411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
52 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
5351, 52eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)) ∈ 𝐿1)
5449, 53, 37iblabsnc 33787 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1)
5539adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
5640adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
5755, 56iblpos 23758 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
5854, 57mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
5958simprd 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
6048, 59syl5eqelr 2844 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
61603adant1 1125 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
625abscld 14374 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
635absge0d 14382 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
64 elrege0 12471 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡))))
6562, 63, 64sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
66 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6765, 66fmptd 6548 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
68673ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
69 iftrue 4236 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹𝑡)))
7069mpteq2ia 4892 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
7170fveq2i 6355 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
723feqmptd 6411 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)))
73 i1fibl 23773 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
7472, 73eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
7527a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
7675feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
77 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
785, 72, 76, 77fmptco 6559 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
79 i1fmbf 23641 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
80 ftc1anclem1 33798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
813, 79, 80syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
8278, 81eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
834, 74, 82iblabsnc 33787 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
8462, 63iblpos 23758 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
8583, 84mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
8685simprd 482 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
8771, 86syl5eqelr 2844 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
88873ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
8938, 45, 61, 68, 88itg2addnc 33777 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
9024, 89eqtr3d 2796 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
9161, 88readdcld 10261 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
9290, 91eqeltrd 2839 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
93 readdcl 10211 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9439, 62, 93syl2anr 496 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9594anandirs 909 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9695rexrd 10281 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
9739adantll 752 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
9862adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
9940adantll 752 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
10063adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
10197, 98, 99, 100addge0d 10795 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
102 elxrge0 12474 . . . . . 6 (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
10396, 101, 102sylanbrc 701 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
104 eqid 2760 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
105103, 104fmptd 6548 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
1061053adant2 1126 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
107 abs2dif2 14272 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
1082, 5, 107syl2anr 496 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
109108anandirs 909 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
110109ralrimiva 3104 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
11117a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
112 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
113 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
114111, 9, 95, 112, 113ofrfval2 7080 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
115110, 114mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
1161153adant2 1126 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
117 itg2le 23705 . . 3 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
11816, 106, 116, 117syl3anc 1477 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
119 itg2lecl 23704 . 2 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
12016, 92, 118, 119syl3anc 1477 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑟 cofr 7061  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  abscabs 14173  MblFncmbf 23582  1citg1 23583  2citg2 23584  𝐿1cibl 23585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cmp 21392  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-0p 23636
This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  33802  ftc1anclem6  33803
  Copyright terms: Public domain W3C validator