MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem4 25001
Description: Lemma for fta 25005: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 25002. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem4.5 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
ftalem4.6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
ftalem4.7 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
ftalem4.9 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
Assertion
Ref Expression
ftalem4 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
2 ssrab2 3828 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℕ
3 nnuz 11916 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3778 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1)
5 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnne0d 11257 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
7 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (deg‘𝐹)
9 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeff‘𝐹)
108, 9dgreq0 24220 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
117, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
12 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
13 dgr0 24217 . . . . . . . . . . . 12 (deg‘0𝑝) = 0
1412, 13syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
158, 14syl5eq 2806 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1611, 15syl6bir 244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2953 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
186, 17mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
19 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
2019neeq1d 2991 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑁) ≠ 0))
2120elrab 3504 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0))
225, 18, 21sylanbrc 701 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
23 ne0i 4064 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
25 infssuzcl 11965 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
264, 24, 25sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
271, 26syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
28 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝐾))
2928neeq1d 2991 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝐾) ≠ 0))
3029elrab 3504 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
3127, 30sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
32 ftalem4.7 . . . 4 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
33 plyf 24153 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
347, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
35 0cn 10224 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
36 ffvelrn 6520 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3734, 35, 36sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
389coef3 24187 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
397, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4031simpld 477 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11543 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
4239, 41ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
4331simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ≠ 0)
4437, 42, 43divcld 10993 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
4544negcld 10571 . . . . 5 (𝜑 → -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
4640nnrecred 11258 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
4746recnd 10260 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℂ)
4845, 47cxpcld 24653 . . . 4 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾)) ∈ ℂ)
4932, 48syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
50 ftalem4.8 . . . 4 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
51 ftalem4.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
5237, 51absrpcld 14386 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ+)
53 fzfid 12966 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
54 peano2nn0 11525 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
5541, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
56 elfzuz 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
57 eluznn0 11950 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5855, 56, 57syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5939ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6058, 59syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
61 expcl 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6249, 61sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6358, 62syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6460, 63mulcld 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) ∈ ℂ)
6564abscld 14374 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
6653, 65fsumrecl 14664 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
6764absge0d 14382 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
6853, 65, 67fsumge0 14726 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
6966, 68ge0p1rpd 12095 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ+)
7052, 69rpdivcld 12082 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1)) ∈ ℝ+)
7150, 70syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
72 ftalem4.9 . . . 4 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
73 1rp 12029 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
74 ifcl 4274 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝑈 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ∈ ℝ+)
7573, 71, 74sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ∈ ℝ+)
7672, 75syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
7749, 71, 763jca 1123 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+))
7831, 77jca 555 1 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cuz 11879  +crp 12025  ...cfz 12519  cexp 13054  abscabs 14173  Σcsu 14615  0𝑝c0p 23635  Polycply 24139  coeffccoe 24141  degcdgr 24142  𝑐ccxp 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-0p 23636  df-limc 23829  df-dv 23830  df-ply 24143  df-coe 24145  df-dgr 24146  df-log 24502  df-cxp 24503
This theorem is referenced by:  ftalem5  25002
  Copyright terms: Public domain W3C validator