MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem2 24096
Description: Lemma for fta1g 24097. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
fta1glem.6 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
Assertion
Ref Expression
fta1glem2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑁   𝑔,𝑂   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐾(𝑔)   (𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem fta1glem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fta1glem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
2 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
3 fta1glem.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
5 fta1g.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
6 fvex 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Base‘𝑅) ∈ V
73, 6eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ V)
9 isidom 19477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
109simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
115, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑂 = (eval1𝑅)
13 fta1g.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑃 = (Poly1𝑅)
1412, 13, 2, 3evl1rhm 19869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
16 fta1g.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐵 = (Base‘𝑃)
1716, 4rhmf 18899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
19 fta1g.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹𝐵)
2018, 19ffvelrnd 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
212, 3, 4, 5, 8, 20pwselbas 16322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
2221ffnd 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
23 fniniseg 6489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
251, 24mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
2625simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
27 fta1glem.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (var1𝑅)
28 fta1glem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (-g𝑃)
29 fta1glem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (algSc‘𝑃)
30 fta1glem.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
319simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
32 domnnzr 19468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3525simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇𝐾)
36 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = (0g𝑅)
37 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
3813, 16, 3, 27, 28, 29, 30, 12, 34, 11, 35, 19, 36, 37facth1 24094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3926, 38mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
40 nzrring 19434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4134, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
42 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
43 fta1g.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ( deg1𝑅)
4413, 16, 3, 27, 28, 29, 30, 12, 34, 11, 35, 42, 43, 36ply1remlem 24092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4544simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
46 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4746, 42mon1puc1p 24080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
4841, 45, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
49 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
5113, 37, 16, 46, 49, 50dvdsq1p 24090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5241, 19, 48, 51syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5339, 52mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
5453fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5550, 13, 16, 46q1pcl 24085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5641, 19, 48, 55syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5713, 16, 42mon1pcl 24074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
5845, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝐵)
59 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
6016, 49, 59rhmmul 18900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6115, 56, 58, 60syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6218, 56ffvelrnd 6511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
6318, 58ffvelrnd 6511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
64 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
652, 4, 5, 8, 62, 63, 64, 59pwsmulrval 16324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6654, 61, 653eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6766fveq1d 6342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
6867adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
692, 3, 4, 5, 8, 62pwselbas 16322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
7069ffnd 6195 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
722, 3, 4, 5, 8, 63pwselbas 16322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
7372ffnd 6195 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
7473adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
757a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ V)
76 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
77 fnfvof 7064 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7871, 74, 75, 76, 77syl22anc 1464 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7968, 78eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
8079eqeq1d 2750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊))
815, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8281adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Domn)
8369ffvelrnda 6510 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾)
8472ffvelrnda 6510 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾)
853, 64, 36domneq0 19470 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8682, 83, 84, 85syl3anc 1463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8780, 86bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8887pm5.32da 676 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
89 andi 947 . . . . . 6 ((𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9088, 89syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
91 fniniseg 6489 . . . . . 6 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
9222, 91syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
93 elun 3884 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}))
94 fniniseg 6489 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9570, 94syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9644simp3d 1136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇})
9796eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑇}))
98 fniniseg 6489 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9973, 98syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10097, 99bitr3d 270 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑇} ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10195, 100orbi12d 748 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10293, 101syl5bb 272 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10390, 92, 1023bitr4d 300 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
104103eqrdv 2746 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}))
105104fveq2d 6344 . 2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) = (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
106 fvex 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
107106cnvex 7266 . . . . . . . . 9 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
108107imaex 7257 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V
109108a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V)
110 fta1glem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
111 fta1glem.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
112 fta1g.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
113 fta1glem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
11413, 16, 43, 12, 36, 112, 5, 19, 3, 27, 28, 29, 30, 110, 113, 1fta1glem1 24095 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
115 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
116115eqeq1d 2750 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝐷𝑔) = 𝑁 ↔ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁))
117 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
118117cnveqd 5441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
119118imaeq1d 5611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝑂𝑔) “ {𝑊}) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}))
120119fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) = (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})))
121120, 115breq12d 4805 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔) ↔ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
122116, 121imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) ↔ ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
123122rspcv 3433 . . . . . . . . 9 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 → (∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) → ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
12456, 111, 114, 123syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
125124, 114breqtrd 4818 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁)
126 hashbnd 13288 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
127109, 110, 125, 126syl3anc 1463 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
128 snfi 8191 . . . . . 6 {𝑇} ∈ Fin
129 unfi 8380 . . . . . 6 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
130127, 128, 129sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
131 hashcl 13310 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
132130, 131syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
133132nn0red 11515 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℝ)
134 hashcl 13310 . . . . . 6 (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
135127, 134syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
136135nn0red 11515 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
137 peano2re 10372 . . . 4 ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
138136, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
139 peano2nn0 11496 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
140110, 139syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
141113, 140eqeltrd 2827 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
142141nn0red 11515 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
143 hashun2 13335 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
144127, 128, 143sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
145 hashsng 13322 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) → (♯‘{𝑇}) = 1)
1461, 145syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑇}) = 1)
147146oveq2d 6817 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})) = ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
148144, 147breqtrd 4818 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
149110nn0red 11515 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
150 1red 10218 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
151136, 149, 150, 125leadd1dd 10804 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝑁 + 1))
152151, 113breqtrrd 4820 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝐷𝐹))
153133, 138, 142, 148, 152letrd 10357 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ (𝐷𝐹))
154105, 153eqbrtrd 4814 1 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  Vcvv 3328  cun 3701  {csn 4309   class class class wbr 4792  ccnv 5253  cima 5257   Fn wfn 6032  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑓 cof 7048  Fincfn 8109  cr 10098  1c1 10100   + caddc 10102  cle 10238  0cn0 11455  chash 13282  Basecbs 16030  .rcmulr 16115  0gc0g 16273  s cpws 16280  -gcsg 17596  Ringcrg 18718  CRingccrg 18719  rcdsr 18809   RingHom crh 18885  NzRingcnzr 19430  Domncdomn 19453  IDomncidom 19454  algSccascl 19484  var1cv1 19719  Poly1cpl1 19720  eval1ce1 19852   deg1 cdg1 23984  Monic1pcmn1 24055  Unic1pcuc1p 24056  quot1pcq1p 24057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-ofr 7051  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-prds 16281  df-pws 16283  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-srg 18677  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-rnghom 18888  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-nzr 19431  df-rlreg 19456  df-domn 19457  df-idom 19458  df-assa 19485  df-asp 19486  df-ascl 19487  df-psr 19529  df-mvr 19530  df-mpl 19531  df-opsr 19533  df-evls 19679  df-evl 19680  df-psr1 19723  df-vr1 19724  df-ply1 19725  df-coe1 19726  df-evl1 19854  df-cnfld 19920  df-mdeg 23985  df-deg1 23986  df-mon1 24060  df-uc1p 24061  df-q1p 24062  df-r1p 24063
This theorem is referenced by:  fta1g  24097
  Copyright terms: Public domain W3C validator