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Theorem fsuppunbi 8337
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 8318 . . . . 5 Rel finSupp
2 brrelex12 5189 . . . . 5 ((Rel finSupp ∧ (𝐹𝐺) finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
31, 2mpan 706 . . . 4 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
4 unexb 7000 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
5 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
65adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
7 simprlr 820 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
87suppun 7360 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍))
9 ssfi 8221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
11 fununfun 5972 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
1211simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐹)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
15 simprll 819 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
18 funisfsupp 8321 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1914, 15, 17, 18syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2010, 19mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
21 uncom 3790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
2221oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺𝐹) supp 𝑍)
2322eleq1i 2721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2423biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2715suppun 7360 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍))
28 ssfi 8221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2926, 27, 28syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3011simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐺)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
33 funisfsupp 8321 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3432, 7, 17, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3529, 34mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
3620, 35jca 553 . . . . . . . 8 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))
3736a1d 25 . . . . . . 7 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
3837ex 449 . . . . . 6 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
39 fsuppimp 8322 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
4038, 39syl11 33 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
414, 40sylanbr 489 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
423, 41mpcom 38 . . 3 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
4342com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
44 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
45 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
4644, 45fsuppun 8335 . . . . 5 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
4746adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
48 fsuppunbi.u . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
4948adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹𝐺))
501brrelexi 5192 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
511brrelexi 5192 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp 𝑍𝐺 ∈ V)
52 unexg 7001 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5350, 51, 52syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5453adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) ∈ V)
551brrelex2i 5193 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
5655adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
5756adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
58 funisfsupp 8321 . . . . 5 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5949, 54, 57, 58syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
6047, 59mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
6160ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍))
6243, 61impbid 202 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607   class class class wbr 4685  Rel wrel 5148  Fun wfun 5920  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fsupp 8317
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8340
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