MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0ub 13002
Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
21fsuppimpd 8442 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
32ex 397 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4 elmapfn 8036 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) → 𝐹 Fn ℕ0)
54adantr 466 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6 nn0ex 11505 . . . . . 6 0 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8 simpr 471 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍𝑉)
9 suppvalfn 7457 . . . . 5 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍})
105, 7, 8, 9syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍})
1110eleq1d 2835 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12 rabssnn0fi 12993 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
13 nne 2947 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1413imbi2i 325 . . . . . 6 ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1514ralbii 3129 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1615rexbii 3189 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1712, 16sylbb 209 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1811, 17syl6bi 243 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
193, 18syld 47 1 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351   class class class wbr 4787   Fn wfn 6025  cfv 6030  (class class class)co 6796   supp csupp 7450  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8435   < clt 10280  0cn0 11499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  13003  nn0gsumfz  18587  mptcoe1fsupp  19800  coe1ae0  19801  gsummoncoe1  19889  mptcoe1matfsupp  20827  mp2pm2mplem4  20834  pm2mp  20850  cayhamlem4  20913
  Copyright terms: Public domain W3C validator