Theorem fsuppmapnn0fiubOLD 13006

Description: Obsolete proof of fsuppmapnn0fiub 13005 as of 2-Aug-2021. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s	⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiubOLD	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubOLD

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1993	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)
2		nfra1 3080	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3		nfv 1993	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑈 ≠ ∅
4	2, 3	nfan 1978	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	nfan 1978	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
6		suppssdm 7478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7		ssel2 3740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0))
8		elmapfn 8049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9		fndm 6152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10		eqimss 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
12	7, 8, 11	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13	12	3ad2antl1 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
14	6, 13	syl5ss 3756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
16	15	adantlr 753	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
17	16	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
19		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
20	18, 19	fsuppmapnn0fiublem 13004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
21	20	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
22	21	ad2antrr 764	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
23	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
24	23	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25	24	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
26	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
27	26	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
28		nn0ssre 11509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
29	27, 28	syl6eqss 3797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
30	6, 29	syl5ss 3756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
31	30	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
32	5, 31	ralrimi 3096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
33	32	ad2antrr 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34		iunss 4714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
36	18, 35	syl5eqss 3791	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
37		simp2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → 𝑓 finSupp 𝑍)
39	38	fsuppimpd 8450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
40	39	ralimi 3091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
41	40	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
42	37, 41	anim12i 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
43	42	ad2antrr 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
44		iunfi 8422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
46	18, 45	syl5eqel 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
47		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ 𝑀)
48		oveq1 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 supp 𝑍) = (𝑓 supp 𝑍))
49	48	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)))
50	49	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑔 = 𝑓) → (𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)))
51	47, 50	rspcedv 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → ∃𝑔 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍)))
52	51	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍))
53		oveq1 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 supp 𝑍) = (𝑔 supp 𝑍))
54	53	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍)))
55	54	cbvrexv 3312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍))
56	52, 55	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
57	18	eleq2i 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
58		eliun 4677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
59	57, 58	bitri 264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
60	56, 59	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
61	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
62	36, 46, 60, 61	supfirege 11222	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
63		elfz2nn0 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑆))
64	17, 22, 62, 63	syl3anbrc 1429	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
65	64	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
66	65	ssrdv 3751	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
67	66	ex 449	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
68	5, 67	ralrimi 3096	. 2 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
69	68	ex 449	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059  ∪ ciun 4673   class class class wbr 4805  dom cdm 5267   Fn wfn 6045  (class class class)co 6815   supp csupp 7465   ↑_𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124   finSupp cfsupp 8443  supcsup 8514  ℝcr 10148  0cc0 10149   < clt 10287   ≤ cle 10288  ℕ₀cn0 11505  ...cfz 12540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541

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