Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fiub0 12987
 Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub0 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0
StepHypRef Expression
1 fsuppmapnn0fiubex 12986 . 2 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚0))
32ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑀𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0)) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚0))
4 elmapfn 8046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚0) → 𝑓 Fn ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑀𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
65expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
763ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
87adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓𝑀𝑓 Fn ℕ0))
98imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10 nn0ex 11490 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12 simpll3 1259 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑍𝑉)
13 suppvalfn 7470 . . . . . . . 8 ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍})
149, 11, 12, 13syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍})
1514sseq1d 3773 . . . . . 6 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16 rabss 3820 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)))
1715, 16syl6bb 276 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18 nne 2936 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓𝑥) = 𝑍)
1918biimpi 206 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓𝑥) = 𝑍)
20192a1d 26 . . . . . . . 8 (¬ (𝑓𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
21 elfz2nn0 12624 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚))
22 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
23 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
24 lenlt 10308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
2522, 23, 24syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍))
2725, 26syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
28273impia 1110 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍))
2928a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑥𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3021, 29sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3120, 30ja 173 . . . . . . 7 (((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3231com12 32 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3332ralimdva 3100 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓𝑥) ≠ 𝑍𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3417, 33sylbid 230 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3534ralimdva 3100 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
3635reximdva 3155 . 2 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
371, 36syld 47 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓𝑥) = 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121   finSupp cfsupp 8440  ℝcr 10127  0cc0 10128   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕ0cn0 11484  ...cfz 12519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520 This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  20708
 Copyright terms: Public domain W3C validator