MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppimpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppimpd 8449
Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppimpd.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppimpd (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd
StepHypRef Expression
1 fsuppimpd.f . 2 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
2 fsuppimp 8448 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
32simprd 482 . 2 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
41, 3syl 17 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139   class class class wbr 4804  Fun wfun 6043  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6817  df-fsupp 8443
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8458  fsuppxpfi  8459  fsuppun  8461  resfsupp  8469  fsuppmptif  8472  fsuppco  8474  fsuppco2  8475  fsuppcor  8476  cantnfcl  8739  cantnfp1lem1  8750  fsuppmapnn0fiublem  13003  fsuppmapnn0fiub  13004  fsuppmapnn0fiubOLD  13005  fsuppmapnn0ub  13009  gsumzcl  18532  gsumcl  18536  gsumzadd  18542  gsumzmhm  18557  gsumzoppg  18564  gsum2dlem1  18589  gsum2dlem2  18590  gsum2d  18591  gsumdixp  18829  lcomfsupp  19125  mptscmfsupp0  19150  mplcoe1  19687  mplbas2  19692  psrbagev1  19732  evlslem2  19734  evlslem6  19735  regsumsupp  20190  frlmphllem  20341  uvcresum  20354  frlmsslsp  20357  frlmup1  20359  tsmsgsum  22163  rrxcph  23400  rrxfsupp  23405  mdegldg  24045  mdegcl  24048  plypf1  24187  rmfsupp  42683  mndpfsupp  42685  scmfsupp  42687  lincresunit2  42795
  Copyright terms: Public domain W3C validator