MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma 24983
Description: Rewrite a sum over the von Mangoldt function as a sum over prime powers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumvma.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
fsumvma.4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
fsumvma.5 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
fsumvma.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma (𝜑 → Σ𝑥𝐴 𝐵 = Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑘,𝐾,𝑥   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝   𝑃,𝑘,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem fsumvma
Dummy variables 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6241 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) ∈ V)
2 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩))
3 df-ov 6693 . . . . . . . 8 (𝑝𝑘) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩)
42, 3syl6eqr 2703 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) = (𝑝𝑘))
54eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑥 = (↑‘𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
65biimpa 500 . . . . 5 ((𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ 𝑥 = (↑‘𝑧)) → 𝑥 = (𝑝𝑘))
7 fsumvma.1 . . . . 5 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ 𝑥 = (↑‘𝑧)) → 𝐵 = 𝐶)
91, 8csbied 3593 . . 3 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
10 fsumvma.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
11 fsumvma.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ Fin)
13 fsumvma.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
1413biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
1514impl 649 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
1615simprd 478 . . . . . 6 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
1716ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾 → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
1815simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1918simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑝 ∈ ℙ)
2019adantrr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2118simprd 478 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ)
2221adantrr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2321ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾𝑘 ∈ ℕ))
2423ssrdv 3642 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ⊆ ℕ)
2524sselda 3636 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ ℕ)
2625adantrl 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑧 ∈ ℕ)
27 eqid 2651 . . . . . . . 8 𝑝 = 𝑝
28 prmexpb 15477 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ (𝑝 = 𝑝𝑘 = 𝑧)))
2928baibd 968 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 = 𝑝) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3027, 29mpan2 707 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3120, 20, 22, 26, 30syl22anc 1367 . . . . . 6 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3231ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → ((𝑘𝐾𝑧𝐾) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧)))
3317, 32dom2lem 8037 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾 ↦ (𝑝𝑘)):𝐾1-1𝐴)
34 f1fi 8294 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐾 ↦ (𝑝𝑘)):𝐾1-1𝐴) → 𝐾 ∈ Fin)
3512, 33, 34syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ∈ Fin)
3613simplbda 653 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
37 fsumvma.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
407eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑥 = (𝑝𝑘) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
4140rspcv 3336 . . . 4 ((𝑝𝑘) ∈ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
4236, 39, 41sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝐶 ∈ ℂ)
439, 10, 35, 42fsum2d 14546 . 2 (𝜑 → Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
44 nfcv 2793 . . . 4 𝑦𝐵
45 nfcsb1v 3582 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
46 csbeq1a 3575 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
4744, 45, 46cbvsumi 14471 . . 3 Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝑦 / 𝑥𝐵
48 csbeq1 3569 . . . 4 (𝑦 = (↑‘𝑧) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
49 snfi 8079 . . . . . . 7 {𝑝} ∈ Fin
50 xpfi 8272 . . . . . . 7 (({𝑝} ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5149, 35, 50sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5251ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
53 iunfi 8295 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Fin ∧ ∀𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin) → 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5410, 52, 53syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
55 fvex 6239 . . . . . . 7 (↑‘𝑎) ∈ V
56552a1i 12 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ V))
57 eliunxp 5292 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↔ ∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)))
5813simprbda 652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
59 opelxp 5180 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
6058, 59sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ))
61 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ↔ ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ)))
6260, 61syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6362impancom 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6463expimpd 628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6564exlimdvv 1902 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6657, 65syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6766ssrdv 3642 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ⊆ (ℙ × ℕ))
6867sseld 3635 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)))
6966, 68anim12d 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∧ 𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ))))
70 1st2nd2 7249 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → 𝑎 = ⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩)
7170fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑎) = (↑‘⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩))
72 df-ov 6693 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = (↑‘⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩)
7371, 72syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑎) = ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)))
74 1st2nd2 7249 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → 𝑏 = ⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩)
7574fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑏) = (↑‘⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩))
76 df-ov 6693 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) = (↑‘⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩)
7775, 76syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑏) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)))
7873, 77eqeqan12d 2667 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏))))
79 xp1st 7242 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (1st𝑎) ∈ ℙ)
80 xp2nd 7243 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (2nd𝑎) ∈ ℕ)
8179, 80jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → ((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑎) ∈ ℕ))
82 xp1st 7242 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (1st𝑏) ∈ ℙ)
83 xp2nd 7243 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (2nd𝑏) ∈ ℕ)
8482, 83jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → ((1st𝑏) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ))
85 prmexpb 15477 . . . . . . . . . 10 ((((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (1st𝑏) ∈ ℙ) ∧ ((2nd𝑎) ∈ ℕ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
8685an4s 886 . . . . . . . . 9 ((((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((1st𝑏) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
8781, 84, 86syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
88 xpopth 7251 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → (((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏)) ↔ 𝑎 = 𝑏))
8978, 87, 883bitrd 294 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
9069, 89syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∧ 𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏)))
9156, 90dom2lem 8037 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1→V)
92 f1f1orn 6186 . . . . 5 ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1→V → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1-onto→ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))
9391, 92syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1-onto→ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))
94 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑧 → (↑‘𝑎) = (↑‘𝑧))
95 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) = (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))
96 fvex 6239 . . . . . 6 (↑‘𝑧) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))‘𝑧) = (↑‘𝑧))
9897adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))‘𝑧) = (↑‘𝑧))
99 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩))
10099, 3syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) = (𝑝𝑘))
101100eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → ((↑‘𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
10236, 101syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
103102impancom 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
104103expimpd 628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
105104exlimdvv 1902 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
10657, 105syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
107106imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴)
108107, 95fmptd 6425 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)⟶𝐴)
109 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)⟶𝐴 → ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ⊆ 𝐴)
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ⊆ 𝐴)
111110sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑦𝐴)
11245nfel1 2808 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
11346eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
114112, 113rspc 3334 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
11538, 114mpan9 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
116111, 115syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
11748, 54, 93, 98, 116fsumf1o 14498 . . 3 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝑦 / 𝑥𝐵 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
11847, 117syl5eq 2697 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
119110sselda 3636 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑥𝐴)
120119, 37syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
121 eldif 3617 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))))
12295, 55elrnmpti 5408 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ ∃𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)𝑥 = (↑‘𝑎))
123100eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑥 = (↑‘𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
124123rexiunxp 5295 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)𝑥 = (↑‘𝑎) ↔ ∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘))
125122, 124bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ ∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘))
126 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → 𝑥 = (𝑝𝑘))
127 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → 𝑥𝐴)
128126, 127eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
12913rbaibd 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
130129adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
131128, 130syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
132131pm5.32da 674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))))
133 ancom 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)))
134 ancom 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
135132, 133, 1343bitr4g 303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘))))
1361352exbidv 1892 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑘((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘))))
137 r2ex 3090 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
138 r2ex 3090 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
139136, 137, 1383bitr4g 303 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
140 fsumvma.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
141140sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
142 isppw2 24886 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Λ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
144139, 143bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ (Λ‘𝑥) ≠ 0))
145125, 144syl5bb 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ (Λ‘𝑥) ≠ 0))
146145necon2bbid 2866 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Λ‘𝑥) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))))
147146pm5.32da 674 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))))
148 fsumvma.7 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
149148ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0) → 𝐵 = 0))
150147, 149sylbird 250 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 = 0))
151121, 150syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 = 0))
152151imp 444 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))) → 𝐵 = 0)
153110, 120, 152, 11fsumss 14500 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝐵)
15443, 118, 1533eqtr2rd 2692 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 𝐵 = Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  csb 3566  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cop 4216   ciun 4552  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  wf 5922  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  cn 11058  cexp 12900  Σcsu 14460  cprime 15432  Λcvma 24863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-vma 24869
This theorem is referenced by:  fsumvma2  24984  vmasum  24986
  Copyright terms: Public domain W3C validator