Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnunOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsnunOLD 14530
 Description: Obsolete version of fsumsplitsnun 14528 as of 17-Dec-2021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnunOLD ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnunOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2927 . . . . . 6 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
2 disjsn 4278 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝐴)
31, 2sylbb2 228 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
433ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
5 eqidd 2652 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ {𝑧}))
6 snfi 8079 . . . . . 6 {𝑧} ∈ Fin
7 unfi 8268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
86, 7mpan2 707 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
983ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
10 rspcsbela 4039 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1110expcom 450 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
12113ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1312imp 444 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1413zcnd 11521 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
154, 5, 9, 14fsumsplit 14515 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵))
16 nfcv 2793 . . . 4 𝑥𝐵
17 nfcsb1v 3582 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
18 csbeq1a 3575 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
1916, 17, 18cbvsumi 14471 . . 3 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝑥 / 𝑘𝐵
2016, 17, 18cbvsumi 14471 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2116, 17, 18cbvsumi 14471 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵
2220, 21oveq12i 6702 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵)
2315, 19, 223eqtr4g 2710 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
24 vex 3234 . . . 4 𝑧 ∈ V
25 vsnid 4242 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ {𝑧}
26 elun2 3814 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})
28 rspcsbela 4039 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
2927, 28mpan 706 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3029zcnd 11521 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31303ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
32 sumsns 14523 . . . 4 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3324, 31, 32sylancr 696 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3433oveq2d 6706 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
3523, 34eqtrd 2685 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∉ wnel 2926  ∀wral 2941  Vcvv 3231  ⦋csb 3566   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {csn 4210  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972   + caddc 9977  ℤcz 11415  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator