Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplit1 40122
Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit1.kph 𝑘𝜑
fsumsplit1.kd 𝑘𝐷
fsumsplit1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c (𝜑𝐶𝐴)
fsumsplit1.bd (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1
StepHypRef Expression
1 uncom 3790 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3 fsumsplit1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
43snssd 4372 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5 undif 4082 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
64, 5sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7 eqidd 2652 . . . 4 (𝜑𝐴 = 𝐴)
82, 6, 73eqtrrd 2690 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
98sumeq1d 14475 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10 fsumsplit1.kph . . 3 𝑘𝜑
11 fsumsplit1.kd . . 3 𝑘𝐷
12 fsumsplit1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 diffi 8233 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15 neldifsnd 4355 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16 simpl 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17 eldifi 3765 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘𝐴)
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘𝐴)
19 fsumsplit1.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2016, 18, 19syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fsumsplit1.bd . . 3 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
2211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑘𝐷)
23 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
2423, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
2510, 22, 3, 24csbiedf 3587 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
2625eqcomd 2657 . . . 4 (𝜑𝐷 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
273ancli 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
28 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝐶
29 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶𝐴
3010, 29nfan 1868 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
3128nfcsb1 3581 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
32 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘
3331, 32nfel 2806 . . . . . . 7 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3430, 33nfim 1865 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
3635anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
37 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
3837eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3936, 38imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4028, 34, 39, 19vtoclgf 3295 . . . . 5 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
413, 27, 40sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4226, 41eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4310, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42fsumsplitsn 14518 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
4410, 14, 20fsumclf 40119 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
4544, 42addcomd 10276 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
469, 43, 453eqtrd 2689 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  csb 3566  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972   + caddc 9977  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  dvnmul  40476  etransclem35  40804  etransclem44  40813
  Copyright terms: Public domain W3C validator