MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumshftm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftm 14704
Description: Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrev.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftm.5 (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftm (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftm
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2894 . . 3 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3682 . . 3 𝑗𝑚 / 𝑗𝐴
3 csbeq1a 3675 . . 3 (𝑗 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑗𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14618 . 2 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑗𝐴
5 fsumrev.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
65znegcld 11668 . . . 4 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
7 fsumrev.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 fsumrev.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fsumrev.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
109ralrimiva 3096 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
112nfel1 2909 . . . . . 6 𝑗𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
123eleq1d 2816 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1311, 12rspc 3435 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1410, 13mpan9 487 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
15 csbeq1 3669 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 − -𝐾) → 𝑚 / 𝑗𝐴 = (𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴)
166, 7, 8, 14, 15fsumshft 14703 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴)
177zcnd 11667 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
185zcnd 11667 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1917, 18negsubd 10582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀𝐾))
208zcnd 11667 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2120, 18negsubd 10582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁𝐾))
2219, 21oveq12d 6823 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾)))
2322sumeq1d 14622 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴)
24 elfzelz 12527 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2524zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
26 subneg 10514 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
2725, 18, 26syl2anr 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
2827csbeq1d 3673 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = (𝑘 + 𝐾) / 𝑗𝐴)
29 ovex 6833 . . . . . 6 (𝑘 + 𝐾) ∈ V
30 fsumshftm.5 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
3129, 30csbie 3692 . . . . 5 (𝑘 + 𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵
3228, 31syl6eq 2802 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
3332sumeq2dv 14624 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
3416, 23, 333eqtrd 2790 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
354, 34syl5eq 2798 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  csb 3666  (class class class)co 6805  cc 10118   + caddc 10123  cmin 10450  -cneg 10451  cz 11561  ...cfz 12511  Σcsu 14607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608
This theorem is referenced by:  telfsumo  14725  fsumparts  14729  arisum  14783  geo2sum  14795  ovolicc2lem4  23480  uniioombllem3  23545  dvply1  24230  pserdvlem2  24373  advlogexp  24592  dchrisumlem1  25369  pntpbnd2  25467  pwdif  42003  nn0sumshdiglemA  42915  nn0sumshdiglemB  42916
  Copyright terms: Public domain W3C validator