Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumshftd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftd 34759
 Description: Index shift of a finite sum with a weaker "implicit substitution" hypothesis than fsumshft 14731. The proof demonstrates how this can be derived starting from from fsumshft 14731. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumshftd.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftd (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftd
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . 3 𝑤𝐴
2 nfcsb1v 3690 . . 3 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴
3 csbeq1a 3683 . . 3 (𝑗 = 𝑤𝐴 = 𝑤 / 𝑗𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14646 . 2 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴
5 fsumshftd.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6 fsumshftd.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 fsumshftd.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 nfv 1992 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
92nfel1 2917 . . . . . 6 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
108, 9nfim 1974 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
11 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))))
133eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1412, 13imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)))
15 fsumshftd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1610, 14, 15chvar 2407 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
17 csbeq1 3677 . . . 4 (𝑤 = (𝑘𝐾) → 𝑤 / 𝑗𝐴 = (𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
185, 6, 7, 16, 17fsumshft 14731 . . 3 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
19 ovexd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐾) ∈ V)
20 fsumshftd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
2119, 20csbied 3701 . . . 4 (𝜑(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
2221sumeq2sdv 14654 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
2318, 22eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
244, 23syl5eq 2806 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ⦋csb 3674  (class class class)co 6814  ℂcc 10146   + caddc 10151   − cmin 10478  ℤcz 11589  ...cfz 12539  Σcsu 14635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator