Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 40129
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumsermpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3 elfzuz 12376 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘𝑍)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8fsumcl 14508 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
1413sumeq1d 14475 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1514cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1612, 15eqtri 2673 . . . 4 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1716fnmpt 6058 . . 3 (∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
21 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
22 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
2322nfcsb1 3581 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2423nfel1 2808 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
2521, 24nfim 1865 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
26 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2726anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
28 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2928eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
3027, 29imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
3125, 30, 7chvar 2298 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
32 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 6340 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3420, 31, 33syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3534, 31eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36 addcl 10056 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
384, 19, 35, 37seqf 12862 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ)
39 ffn 6083 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
4038, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
41 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)))
4342fneq1d 6019 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍))
4440, 43mpbird 247 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
45 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
4616fvmpt2 6330 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
4745, 10, 46syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
48 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑗(𝑀...𝑚)
49 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘(𝑀...𝑚)
50 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑗𝐴
5128, 48, 49, 50, 23cbvsum 14469 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴
5251a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
5347, 52eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
54 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
55 elfzuz 12376 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5655, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗𝑍)
5756adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗𝑍)
5854, 57, 34syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
5958adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
60 id 22 . . . . . 6 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
6160, 4syl6eleq 2740 . . . . 5 (𝑚𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6261adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6354, 57, 31syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6463adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6559, 62, 64fsumser 14505 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚))
6641fveq1i 6230 . . . . 5 (𝐺𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚)
6766eqcomi 2660 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚)
6867a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚))
6953, 65, 683eqtrd 2689 . 2 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
7018, 44, 69eqfnfvd 6354 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  csb 3566  cmpt 4762   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  ovolval2lem  41178
  Copyright terms: Public domain W3C validator