Theorem fsumser 14410

Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition of follows as fsum1 14425 and fsump1i 14447, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 14413, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumser.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
fsumser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumser.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumser	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumser

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		fveq2 6158	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
3	1, 2	ifbieq1d 4087	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
4		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))
5		fvex 6168	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
6		c0ex 9994	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
7	5, 6	ifex 4134	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 6249	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
9		fsumser.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10	9	ifeq1da 4094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
11	8, 10	sylan9eqr 2677	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
12		fsumser.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		fsumser.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		ssid 3609	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
16	11, 12, 13, 15	fsumsers 14408	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)))‘𝑁))
17		elfzuz 12296	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
19		iftrue 4070	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
20	18, 19	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
22	12, 21	seqfveq 12781	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
23	16, 22	eqtrd 2655	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560  ifcif 4064   ↦ cmpt 4683  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  0cc0 9896   + caddc 9899  ℤ_≥cuz 11647  ...cfz 12284  seqcseq 12757  Σcsu 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367

This theorem is referenced by:  isumclim3  14437  seqabs  14492  cvgcmpce  14496  isumsplit  14516  climcndslem1  14525  climcndslem2  14526  climcnds  14527  trireciplem  14538  geolim  14545  geo2lim  14550  mertenslem2  14561  mertens  14562  efcvgfsum  14760  effsumlt  14785  prmreclem6  15568  prmrec  15569  ovollb2lem  23196  ovoliunlem1  23210  ovoliun2  23214  ovolscalem1  23221  ovolicc2lem4  23228  uniioovol  23287  uniioombllem3  23293  uniioombllem6  23296  mtest  24096  mtestbdd  24097  psercn2  24115  pserdvlem2  24120  abelthlem6  24128  logfac  24285  emcllem5  24660  lgamcvg2  24715  basellem8  24748  prmorcht  24838  pclogsum  24874  dchrisumlem2  25113  dchrmusum2  25117  dchrvmasumiflem1  25124  dchrisum0re  25136  dchrisum0lem1b  25138  dchrisum0lem2a  25140  dchrisum0lem2  25141  esumpcvgval  29963  esumcvg  29971  esumcvgsum  29973  knoppcnlem11  32188  fsumsermpt  39247  sumnnodd  39298  fourierdlem112  39772  sge0isum  39981  sge0seq  40000