Theorem fsumrev2 14634

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev2.2	⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumrev2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 14572	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = 0
2		sum0 14572	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
3	1, 2	eqtr4i 2749	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
4		sumeq1 14539	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴)
5		sumeq1 14539	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
6	3, 4, 5	3eqtr4a 2784	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
7	6	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀...𝑁) = ∅) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
8		fzn0 12469	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		eluzel2 11805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		eluzelz 11810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	10, 12	zaddcld 11599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14		fsumrev2.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantlr 753	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		fsumrev2.2	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
17	13, 10, 12, 15, 16	fsumrev 14631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵)
18	10	zcnd 11596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19	12	zcnd 11596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncand 10506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
21	18, 19	pncan2d 10507	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
22	20, 21	oveq12d 6783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
23	22	sumeq1d 14551	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
24	17, 23	eqtrd 2758	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
25	8, 24	sylan2b 493	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀...𝑁) ≠ ∅) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
26	7, 25	pm2.61dane 2983	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∅c0 4023  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  0cc0 10049   + caddc 10052   − cmin 10379  ℤcz 11490  ℤ_≥cuz 11800  ...cfz 12440  Σcsu 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537

This theorem is referenced by:  fsum0diag2  14635  efaddlem  14943  aareccl  24201