MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrecl 14656
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fsumrecl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10177 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 readdcl 10203 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
43adantl 473 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumrecl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 0red 10225 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14654 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131  wss 3707  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  cc 10118  cr 10119   + caddc 10123  Σcsu 14607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608
This theorem is referenced by:  fsumless  14719  fsumle  14722  fsumlt  14723  fsumabs  14724  o1fsum  14736  isumltss  14771  climcndslem1  14772  climcndslem2  14773  mertenslem1  14807  rpnnen2lem10  15143  prmreclem4  15817  prmreclem5  15818  lebnumlem1  22953  csbren  23374  trirn  23375  rrxmet  23383  rrxdstprj1  23384  ovolfiniun  23461  ovoliunlem1  23462  ovolscalem1  23473  ovolicc2lem4  23480  volfiniun  23507  uniioombllem3a  23544  uniioombllem4  23546  i1fd  23639  itg1cl  23643  i1fadd  23653  i1fmul  23654  dvfsumge  23976  dvfsumabs  23977  dvfsumrlimf  23979  dvfsumlem2  23981  dvfsumlem3  23982  dvfsumlem4  23983  dvfsum2  23988  aaliou3lem5  24293  mtest  24349  mtestbdd  24350  abelthlem7  24383  abelthlem8  24384  log2ublem2  24865  log2ub  24867  birthdaylem3  24871  emcllem1  24913  emcllem2  24914  emcllem3  24915  harmoniclbnd  24926  harmonicubnd  24927  harmonicbnd4  24928  fsumharmonic  24929  ftalem1  24990  ftalem4  24993  ftalem5  24994  chtf  25025  chpf  25040  chpub  25136  logfaclbnd  25138  logexprlim  25141  chtppilimlem1  25353  vmadivsum  25362  vmadivsumb  25363  rplogsumlem1  25364  rplogsumlem2  25365  rpvmasumlem  25367  dchrisumlem2  25370  dchrmusum2  25374  dchrvmasumlem2  25378  dchrvmasumlem3  25379  dchrvmasumiflem1  25381  dchrisum0ff  25387  dchrisum0flblem1  25388  dchrisum0fno1  25391  dchrisum0re  25393  dchrisum0lem1  25396  dchrisum0lem2a  25397  rplogsum  25407  dirith2  25408  mudivsum  25410  mulogsumlem  25411  mulog2sumlem1  25414  mulog2sumlem2  25415  vmalogdivsum2  25418  vmalogdivsum  25419  2vmadivsumlem  25420  logsqvma2  25423  log2sumbnd  25424  selberglem2  25426  selberg  25428  selbergb  25429  selberg2b  25432  chpdifbndlem1  25433  logdivbnd  25436  selberg3lem1  25437  selberg3lem2  25438  selberg3  25439  selberg4lem1  25440  selberg4  25441  pntrsumo1  25445  pntrsumbnd  25446  pntrsumbnd2  25447  selberg3r  25449  selberg4r  25450  selberg34r  25451  pntsf  25453  pntsval2  25456  pntrlog2bndlem1  25457  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem3  25459  pntrlog2bndlem4  25460  pntrlog2bndlem5  25461  pntrlog2bndlem6  25463  pntrlog2bnd  25464  pntpbnd1  25466  pntpbnd2  25467  pntlemj  25483  pntlemf  25485  pntlemk  25486  pntlemo  25487  axsegconlem2  25989  ax5seglem3  26002  ax5seg  26009  esumpcvgval  30441  esumcvg  30449  sibfof  30703  reprlt  30998  reprgt  31000  reprinfz1  31001  hgt750lemd  31027  hgt750lemb  31035  hgt750lema  31036  hgt750leme  31037  tgoldbachgtde  31039  knoppndvlem5  32805  knoppndvlem11  32811  knoppndvlem14  32814  mettrifi  33858  geomcau  33860  rrnmet  33933  rrndstprj1  33934  rrndstprj2  33935  refsumcn  39680  fsumge0cl  40300  fsumreclf  40303  stoweidlem11  40723  stoweidlem17  40729  stoweidlem20  40732  stoweidlem26  40738  stoweidlem30  40742  stoweidlem32  40744  stoweidlem38  40750  stoweidlem44  40756  stirlinglem12  40797  dirkeritg  40814  fourierdlem73  40891  fourierdlem83  40901  fourierdlem112  40930  etransclem23  40969  etransclem35  40981  etransclem48  40994  sge0rnre  41076  sge0cl  41093  sge0fsum  41099  sge0ltfirp  41112  sge0le  41119  sge0split  41121  sge0iunmptlemfi  41125  sge0iunmptlemre  41127  sge0xaddlem1  41145  sge0xaddlem2  41146  sge0seq  41158  omeiunltfirp  41231  carageniuncllem2  41234  hoidmvlelem2  41308  hoidmvlelem3  41309  hoiqssbllem2  41335  fsummsndifre  41844  fsummmodsndifre  41846
  Copyright terms: Public domain W3C validator