Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummulc1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummulc1f 40120
 Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsummulc1 14561 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc1f.ph 𝑘𝜑
fsummulclf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsummulclf.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fsummulclf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsummulc1f (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1f
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3575 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2793 . . . . 5 𝑗𝐴
3 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘𝐴
4 nfcv 2793 . . . . 5 𝑗𝐵
5 nfcsb1v 3582 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 14469 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
76oveq1i 6700 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶)
87a1i 11 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶))
9 fsummulclf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fsummulclf.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
11 fsummulc1f.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
12 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝐴
1311, 12nfan 1868 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
145nfel1 2808 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1513, 14nfim 1865 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
16 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1716anbi2d 740 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
181eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1917, 18imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
20 fsummulclf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2115, 19, 20chvar 2298 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
229, 10, 21fsummulc1 14561 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = Σ𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶))
23 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗𝑗 = 𝑘)
2423imbi1i 338 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵))
25 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
2625imbi2i 325 . . . . . . 7 ((𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵))
2724, 26bitri 264 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵))
281, 27mpbi 220 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
2928oveq1d 6705 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
30 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘 ·
31 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘𝐶
325, 30, 31nfov 6716 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶)
33 nfcv 2793 . . . 4 𝑗(𝐵 · 𝐶)
3429, 3, 2, 32, 33cbvsum 14469 . . 3 Σ𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)
3534a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
368, 22, 353eqtrd 2689 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  ⦋csb 3566  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972   · cmul 9979  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461 This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  40477
 Copyright terms: Public domain W3C validator