MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumm1 14671
Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumm1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumm1
StepHypRef Expression
1 fsumm1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 11881 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 fzsn 12568 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
65ineq2d 3949 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}))
73zred 11666 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87ltm1d 11140 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) < 𝑁)
9 fzdisj 12553 . . . . 5 ((𝑁 − 1) < 𝑁 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ∅)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ∅)
116, 10eqtr3d 2788 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 11876 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
131, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 11604 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 11667 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 10178 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 npcan 10474 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1916, 17, 18sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2019fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
211, 20eleqtrrd 2834 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
22 eluzp1m1 11895 . . . . . . 7 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2315, 21, 22syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
24 fzsuc2 12583 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2513, 23, 24syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
263zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 npcan 10474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2826, 17, 27sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2928oveq2d 6821 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
3025, 29eqtr3d 2788 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑁))
3128sneqd 4325 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
3231uneq2d 3902 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
3330, 32eqtr3d 2788 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
34 fzfid 12958 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
35 fsumm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3611, 33, 34, 35fsumsplit 14662 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
37 eluzfz2 12534 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
381, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3935ralrimiva 3096 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
40 fsumm1.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
4140eleq1d 2816 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
4241rspcv 3437 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝐵 ∈ ℂ))
4338, 39, 42sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4440sumsn 14666 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
451, 43, 44syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
4645oveq2d 6821 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
4736, 46eqtrd 2786 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cun 3705  cin 3706  c0 4050  {csn 4313   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  1c1 10121   + caddc 10123   < clt 10258  cmin 10450  cz 11561  cuz 11871  ...cfz 12511  Σcsu 14607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608
This theorem is referenced by:  fzosump1  14672  fsump1  14678  telfsumo  14725  fsumparts  14729  binom1dif  14756  bpolysum  14975  bpolydiflem  14976  pwp1fsum  15308  prmreclem4  15817  ovolicc2lem4  23480  dvfsumlem1  23980  abelthlem6  24381  log2ublem2  24865  harmonicbnd4  24928  ftalem1  24990  ftalem5  24994  chpp1  25072  1sgmprm  25115  chtublem  25127  logdivbnd  25436  pntrlog2bndlem1  25457  knoppndvlem15  32815  mettrifi  33858  stoweidlem17  40729  pwdif  42003  nnsum4primeseven  42190  nnsum4primesevenALTV  42191
  Copyright terms: Public domain W3C validator