MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumle 14750
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fsumle (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 fsumle.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 10670 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
5 fsumle.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
62, 3subge0d 10829 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
75, 6mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶𝐵))
81, 4, 7fsumge0 14746 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵))
92recnd 10280 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
103recnd 10280 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
111, 9, 10fsumsub 14739 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
128, 11breqtrd 4830 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
131, 2fsumrecl 14684 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
141, 3fsumrecl 14684 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
1513, 14subge0d 10829 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶))
1612, 15mpbid 222 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cr 10147  0cc0 10148  cle 10287  cmin 10478  Σcsu 14635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636
This theorem is referenced by:  o1fsum  14764  climcndslem1  14800  climcndslem2  14801  mertenslem1  14835  ovoliunlem1  23490  ovolicc2lem4  23508  uniioombllem4  23574  dvfsumle  24003  dvfsumabs  24005  mtest  24377  mtestbdd  24378  abelthlem7  24411  birthdaylem3  24900  fsumharmonic  24958  ftalem1  25019  ftalem5  25023  basellem8  25034  chtleppi  25155  chpub  25165  logfaclbnd  25167  bposlem1  25229  chebbnd1lem1  25378  chtppilimlem1  25382  vmadivsum  25391  rplogsumlem1  25393  rplogsumlem2  25394  rpvmasumlem  25396  dchrisumlem2  25399  dchrmusum2  25403  dchrvmasumlem3  25408  dchrvmasumiflem1  25410  dchrisum0fno1  25420  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0lem2a  25426  mudivsum  25439  mulogsumlem  25440  mulog2sumlem2  25444  vmalogdivsum2  25447  2vmadivsumlem  25449  selberglem2  25455  selbergb  25458  selberg2b  25461  chpdifbndlem1  25462  logdivbnd  25465  selberg3lem1  25466  selberg4lem1  25469  pntrlog2bndlem1  25486  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem3  25488  pntrlog2bndlem5  25490  pntrlog2bndlem6  25492  pntpbnd2  25496  pntlemj  25512  reprlt  31027  reprgt  31029  hgt750lemf  31061  hgt750lemb  31064  knoppndvlem11  32840  geomcau  33886  stoweidlem11  40749  stoweidlem26  40764  stoweidlem38  40776  stirlinglem12  40823  etransclem23  40995  etransclem32  41004  sge0le  41145  hoidmvlelem2  41334
  Copyright terms: Public domain W3C validator