Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumiunss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumiunss 40125
Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 14597, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunss.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
fsumiunss.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
fsumiunss.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi (𝜑𝐷 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumiunss (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2793 . . . . 5 𝑦(𝐵𝐷)
2 nfcsb1v 3582 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
3 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥𝐷
42, 3nfin 3853 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
5 csbeq1a 3575 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
65ineq1d 3846 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐷) = (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
71, 4, 6cbviun 4589 . . . 4 𝑥𝐴 (𝐵𝐷) = 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
87sumeq1i 14472 . . 3 Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
98a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
10 eliun 4556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
1110biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
12 df-rex 2947 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
1311, 12sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
14 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑧
15 nfiu1 4582 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
1614, 15nfel 2806 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
17 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑦𝐴)
18 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅)
2017, 19jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
21 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑦
22 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑦𝐴
2322nfci 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴
24 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥
254, 24nfne 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅
266neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵𝐷) ≠ ∅ ↔ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
2721, 23, 25, 26elrabf 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
2820, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅})
29 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3028, 29jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))))
3216, 31eximd 2123 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → (∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))))
3313, 32mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
34 df-rex 2947 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
3533, 34sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
36 eliun 4556 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3735, 36sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3837rgen 2951 . . . . . 6 𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
39 dfss3 3625 . . . . . 6 ( 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∀𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
4038, 39mpbir 221 . . . . 5 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
41 elrabi 3391 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} → 𝑦𝐴)
4241ssriv 3640 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43 iunss1 4564 . . . . . 6 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
4540, 44eqssi 3652 . . . 4 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) = 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
4645sumeq1i 14472 . . 3 Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
4746a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
48 fsumiunss.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
49 fsumiunss.dj . . . . 5 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
50 fsumiunss.fi . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5148, 49, 50disjinfi 39694 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷)
54 ssfi 8221 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5550, 53, 54syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5655adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5742a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58 inss1 3866 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵
5958rgenw 2953 . . . . . . 7 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵
6059a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵)
61 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
62 eqcom 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6362imbi1i 338 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
64 eqcom 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
6564imbi2i 325 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
6663, 65bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
675, 66mpbi 220 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
682, 61, 67cbvdisj 4662 . . . . . . 7 (Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵Disj 𝑥𝐴 𝐵)
6949, 68sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
70 disjss2 4655 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵 → (Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
7160, 69, 70sylc 65 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
72 disjss1 4658 . . . . 5 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
7357, 71, 72sylc 65 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
74 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝜑)
7541ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝑦𝐴)
7658sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
7776adantl 481 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
7877adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
79 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
80 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥𝑘
8180, 2nfel 2806 . . . . . . . 8 𝑥 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵
8279, 22, 81nf3an 1871 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
83 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑥 𝐶 ∈ ℂ
8482, 83nfim 1865 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
865eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑘𝑦 / 𝑥𝐵))
8785, 863anbi23d 1442 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8887imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89 fsumiunss.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9084, 88, 89chvar 2298 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9174, 75, 78, 90syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9251, 56, 73, 91fsumiun 14597 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
9367ineq1d 3846 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) = (𝐵𝐷))
9493sumeq1d 14475 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
95 nfrab1 3152 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}
96 nfcv 2793 . . . . 5 𝑦{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}
97 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥𝐶
984, 97nfsum 14465 . . . . 5 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
99 nfcv 2793 . . . . 5 𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶
10094, 95, 96, 98, 99cbvsum 14469 . . . 4 Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶
101100a1i 11 . . 3 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
10292, 101eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
1039, 47, 1023eqtrd 2689 1 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  csb 3566  cin 3606  wss 3607  c0 3948   ciun 4552  Disj wdisj 4652  Fincfn 7997  cc 9972  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  40950
  Copyright terms: Public domain W3C validator