MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsmul 25141
Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that "Σ𝑘𝑁𝐹(𝑘) is a multiplicative function if 𝐹 is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
dvdsmulf1o.y 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
fsumdvdsmul.4 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.5 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
fsumdvdsmul.7 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmul (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑖𝑍 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐷,𝑖   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑖,𝑗,𝑘,𝑋   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑖,𝑌,𝑗,𝑘   𝑖,𝑍,𝑗   𝑥,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsmul
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12979 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 dvdsssfz1 15248 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ (1...𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ (1...𝑀))
62, 5syl5eqss 3796 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ (1...𝑀))
7 ssfi 8335 . . . 4 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑋 ∈ Fin)
81, 6, 7syl2anc 565 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
9 fzfid 12979 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
10 dvdsmulf1o.y . . . . . 6 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
11 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
12 dvdsssfz1 15248 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1410, 13syl5eqss 3796 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ (1...𝑁))
15 ssfi 8335 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ Fin)
169, 14, 15syl2anc 565 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
17 fsumdvdsmul.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
1816, 17fsumcl 14671 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑌 𝐵 ∈ ℂ)
19 fsumdvdsmul.4 . . 3 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
208, 18, 19fsummulc1 14723 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑗𝑋 (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵))
2116adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
2217adantlr 686 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑋) ∧ 𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
2321, 19, 22fsummulc2 14722 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑘𝑌 (𝐴 · 𝐵))
24 fsumdvdsmul.6 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
2524anassrs 458 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑋) ∧ 𝑘𝑌) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
2625sumeq2dv 14640 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → Σ𝑘𝑌 (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘𝑌 𝐷)
2723, 26eqtrd 2804 . . 3 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑘𝑌 𝐷)
2827sumeq2dv 14640 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷)
29 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
30 df-ov 6795 . . . . . . 7 (𝑗 · 𝑘) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
3129, 30syl6eqr 2822 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = (𝑗 · 𝑘))
3231csbeq1d 3687 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 = (𝑗 · 𝑘) / 𝑖𝐶)
33 ovex 6822 . . . . . 6 (𝑗 · 𝑘) ∈ V
34 fsumdvdsmul.7 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
3533, 34csbie 3706 . . . . 5 (𝑗 · 𝑘) / 𝑖𝐶 = 𝐷
3632, 35syl6eq 2820 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 = 𝐷)
3719adantrr 688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3817adantrl 687 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3937, 38mulcld 10261 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4024, 39eqeltrrd 2850 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4136, 8, 16, 40fsumxp 14710 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
42 nfcv 2912 . . . . 5 𝑤𝐶
43 nfcsb1v 3696 . . . . 5 𝑖𝑤 / 𝑖𝐶
44 csbeq1a 3689 . . . . 5 (𝑖 = 𝑤𝐶 = 𝑤 / 𝑖𝐶)
4542, 43, 44cbvsumi 14634 . . . 4 Σ𝑖𝑍 𝐶 = Σ𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶
46 csbeq1 3683 . . . . 5 (𝑤 = ( · ‘𝑧) → 𝑤 / 𝑖𝐶 = ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
47 xpfi 8386 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
488, 16, 47syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
49 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
50 dvdsmulf1o.z . . . . . 6 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
513, 11, 49, 2, 10, 50dvdsmulf1o 25140 . . . . 5 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍)
52 fvres 6348 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
5352adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
5440ralrimivva 3119 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗𝑋𝑘𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
5536eleq1d 2834 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → (( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
5655ralxp 5402 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑗𝑋𝑘𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
5754, 56sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
58 ax-mulf 10217 . . . . . . . . . 10 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
59 ffn 6185 . . . . . . . . . 10 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · Fn (ℂ × ℂ)
61 ssrab2 3834 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ ℕ
622, 61eqsstri 3782 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ⊆ ℕ
63 nnsscn 11226 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
6462, 63sstri 3759 . . . . . . . . . 10 𝑋 ⊆ ℂ
65 ssrab2 3834 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
6610, 65eqsstri 3782 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ⊆ ℕ
6766, 63sstri 3759 . . . . . . . . . 10 𝑌 ⊆ ℂ
68 xpss12 5264 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
6964, 67, 68mp2an 664 . . . . . . . . 9 (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
7046eleq1d 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ( · ‘𝑧) → (𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7170ralima 6640 . . . . . . . . 9 (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7260, 69, 71mp2an 664 . . . . . . . 8 (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
73 df-ima 5262 . . . . . . . . . 10 ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌))
74 f1ofo 6285 . . . . . . . . . . 11 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍)
75 forn 6259 . . . . . . . . . . 11 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7651, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7773, 76syl5eq 2816 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7877raleqdv 3292 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7972, 78syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
8057, 79mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
8180r19.21bi 3080 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
8246, 48, 51, 53, 81fsumf1o 14661 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
8345, 82syl5eq 2816 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝑍 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
8441, 83eqtr4d 2807 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷 = Σ𝑖𝑍 𝐶)
8520, 28, 843eqtrd 2808 1 (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑖𝑍 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  {crab 3064  csb 3680  wss 3721  cop 4320   class class class wbr 4784   × cxp 5247  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  cc 10135  1c1 10138   · cmul 10142  cn 11221  ...cfz 12532  Σcsu 14623  cdvds 15188   gcd cgcd 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424
This theorem is referenced by:  sgmmul  25146  dchrisum0fmul  25415
  Copyright terms: Public domain W3C validator