MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdscom 24956
Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 24955. Note that 𝐴 depends on both 𝑗 and 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdscom.2 (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
fsumdvdscom.3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2793 . . 3 𝑢Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴
2 nfcv 2793 . . . 4 𝑗{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}
3 nfcsb1v 3582 . . . 4 𝑗𝑢 / 𝑗𝐴
42, 3nfsum 14465 . . 3 𝑗Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴
5 breq2 4689 . . . . 5 (𝑗 = 𝑢 → (𝑥𝑗𝑥𝑢))
65rabbidv 3220 . . . 4 (𝑗 = 𝑢 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢})
7 csbeq1a 3575 . . . . 5 (𝑗 = 𝑢𝐴 = 𝑢 / 𝑗𝐴)
87adantr 480 . . . 4 ((𝑗 = 𝑢𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}) → 𝐴 = 𝑢 / 𝑗𝐴)
96, 8sumeq12dv 14481 . . 3 (𝑗 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴)
101, 4, 9cbvsumi 14471 . 2 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴
11 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑥𝑢𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)))
1211rabbidv 3220 . . . . 5 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})
13 csbeq1 3569 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → 𝑢 / 𝑗𝐴 = (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝑢 = (𝑁 / 𝑣) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}) → 𝑢 / 𝑗𝐴 = (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
1512, 14sumeq12dv 14481 . . . 4 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
16 fzfid 12812 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
18 dvdsssfz1 15087 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
20 ssfi 8221 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
2116, 19, 20syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
22 eqid 2651 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
23 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
2422, 23dvdsflip 15086 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
26 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑣 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑣))
27 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑁 / 𝑧) ∈ V
2826, 23, 27fvmpt3i 6326 . . . . 5 (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
2928adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
30 fzfid 12812 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...𝑢) ∈ Fin)
31 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
32 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
3331, 32sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
34 dvdsssfz1 15087 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢))
36 ssfi 8221 . . . . . 6 (((1...𝑢) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ∈ Fin)
3730, 35, 36syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ∈ Fin)
38 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
3938ralrimivva 3000 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ)
40 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑢𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ
413nfel1 2808 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
422, 41nfral 2974 . . . . . . . . 9 𝑗𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
437eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑢 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
446, 43raleqbidv 3182 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑢 → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
4540, 42, 44cbvral 3197 . . . . . . . 8 (∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4639, 45sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4746r19.21bi 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4847r19.21bi 2961 . . . . 5 (((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}) → 𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4937, 48fsumcl 14508 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5015, 21, 25, 29, 49fsumf1o 14498 . . 3 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
51 dvdsdivcl 15085 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5217, 51sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5346adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5413eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5512, 54raleqbidv 3182 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5655rspcv 3336 . . . . . . 7 ((𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → (∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5752, 53, 56sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5857r19.21bi 2961 . . . . 5 (((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5958anasss 680 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
6017, 59fsumdvdsdiag 24955 . . 3 (𝜑 → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
61 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)))
6261csbeq1d 3573 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴)
63 fzfid 12812 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin)
64 dvdsdivcl 15085 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
6531, 64sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
6617, 65sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
67 dvdsssfz1 15087 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
69 ssfi 8221 . . . . . . 7 (((1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
7063, 68, 69syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
71 eqid 2651 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}
72 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))
7371, 72dvdsflip 15086 . . . . . . 7 ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
7466, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
75 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
76 ovex 6718 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) ∈ V
7775, 72, 76fvmpt3i 6326 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
7877adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
7917fsumdvdsdiaglem 24954 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})))
8059ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
8179, 80syld 47 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
8281impl 649 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
8362, 70, 74, 78, 82fsumf1o 14498 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴)
84 ovexd 6720 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ∈ V)
85 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
86 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8785, 86jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8817, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8988ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
9089simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑁 ∈ ℂ)
91 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑘 ∈ ℕ)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
94 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
95 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
9694, 95jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
9793, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
98 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → 𝑚 ∈ ℕ)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑚 ∈ ℕ)
100 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
101 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
102100, 101jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
104 divdiv1 10774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
10590, 97, 103, 104syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
106105oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))))
107 nnmulcl 11081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
10892, 98, 107syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
109 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ)
110 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)
111109, 110jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
112108, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
113 ddcan 10777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
11489, 112, 113syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
115106, 114eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑘 · 𝑚))
116115eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ↔ 𝑗 = (𝑘 · 𝑚)))
117116biimpa 500 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝑗 = (𝑘 · 𝑚))
118 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
119117, 118syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝐴 = 𝐵)
12084, 119csbied 3593 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
121120sumeq2dv 14477 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12283, 121eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
123122sumeq2dv 14477 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12450, 60, 1233eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12510, 124syl5eq 2697 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  csb 3566  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  cn 11058  ...cfz 12364  Σcsu 14460  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  logsqvma  25276
  Copyright terms: Public domain W3C validator