MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvds 15252
Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvds.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumdvds (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds
StepHypRef Expression
1 0z 11600 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 dvds0 15219 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 = 0)
6 fsumdvds.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
76adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
85, 7eqbrtrrd 4828 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9 fsumdvds.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
109adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 0dvds 15224 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
138, 12mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 = 0)
1413sumeq2dv 14652 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
15 fsumdvds.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1615adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
1716olcd 407 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18 sumz 14672 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2794 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
213, 4, 203brtr4d 4836 . 2 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
2215adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fsumdvds.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2524zcnd 11695 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
269adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2726zcnd 11695 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
2922, 25, 27, 28fsumdivc 14737 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁))
306adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
3124adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
33 dvdsval2 15205 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3431, 32, 26, 33syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3530, 34mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3622, 35fsumzcl 14685 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3729, 36eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3815, 9fsumzcl 14685 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3938adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
40 dvdsval2 15205 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4124, 28, 39, 40syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4237, 41mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4321, 42pm2.61dane 3019 1 (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  0cc0 10148   / cdiv 10896  cz 11589  cuz 11899  Σcsu 14635  cdvds 15202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15203
This theorem is referenced by:  3dvds  15274  3dvdsOLD  15275  sylow1lem3  18235  sylow2alem2  18253  poimirlem26  33766  poimirlem27  33767  etransclem37  41009  etransclem38  41010  etransclem44  41016
  Copyright terms: Public domain W3C validator