Theorem fsumdivc 14724

Description: A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulc2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdivc.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fsumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsummulc2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		fsumdivc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
4	2, 3	reccld 10995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
5		fsummulc2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	fsummulc1 14723	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (1 / 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · (1 / 𝐶)))
7	1, 5	fsumcl 14671	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
8	7, 2, 3	divrecd 11005	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (1 / 𝐶)))
9	2	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	3	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
11	5, 9, 10	divrecd 11005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
12	11	sumeq2dv 14640	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · (1 / 𝐶)))
13	6, 8, 12	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  ℂcc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142   / cdiv 10885  Σcsu 14623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624

This theorem is referenced by:  efaddlem  15028  fsumdvds  15238  ovolscalem1  23500  plyeq0lem  24185  aareccl  24300  birthdaylem3  24900  logexprlim  25170  logfacrlim2  25171  dchrvmasumlem1  25404  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0  25429  vmalogdivsum2  25447  selberglem2  25455  selberg4lem1  25469  selberg4r  25479  pntrlog2bndlem5  25490  pntrlog2bndlem6  25492  pntlemo  25516  axsegconlem9  26025  signsplypnf  30961  dirkertrigeqlem2  40827  fourierdlem83  40917  elaa2lem  40961  etransclem38  41000  etransclem44  41006  etransclem45  41007