Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumcvg4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg4 30124
 Description: A serie with finite support is a finite sum, and therefore converges. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg4.s 𝑆 = (ℤ𝑀)
fsumcvg4.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg4.c (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
fsumcvg4.f (𝜑 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumcvg4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem fsumcvg4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcvg4.s . 2 𝑆 = (ℤ𝑀)
2 fsumcvg4.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 fsumcvg4.f . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
4 fsumcvg4.c . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
5 ffun 6086 . . . . 5 (𝐹:𝑆⟶ℂ → Fun 𝐹)
6 difpreima 6383 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((𝐹 “ ℂ) ∖ (𝐹 “ {0})))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((𝐹 “ ℂ) ∖ (𝐹 “ {0})))
8 difss 3770 . . . 4 ((𝐹 “ ℂ) ∖ (𝐹 “ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℂ)
97, 8syl6eqss 3688 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℂ))
10 fimacnv 6387 . . . 4 (𝐹:𝑆⟶ℂ → (𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
114, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
129, 11sseqtrd 3674 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ 𝑆)
13 exmidd 431 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
14 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
1514biantru 525 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)))
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))))
17 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑀) ∈ V
181, 17eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ V)
20 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
22 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
2322ffs2 29631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0𝐹:𝑆⟶ℂ) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
2419, 21, 4, 23syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
25 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑆⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑆)
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
27 suppvalfn 7347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑆𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 supp 0) = {𝑘𝑆 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
2826, 19, 21, 27syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘𝑆 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
2924, 28eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑘𝑆 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0})
3029eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘𝑆 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0}))
31 rabid 3145 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑘𝑆 ∣ (𝐹𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘𝑆 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
3230, 31syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘𝑆 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0)))
3332baibd 968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐹𝑘) ≠ 0))
3433necon2bbid 2866 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
3534biimprd 238 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) → (𝐹𝑘) = 0))
3635pm4.71d 667 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = 0)))
3716, 36orbi12d 746 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) ↔ ((𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = 0))))
3813, 37mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = 0)))
39 eqif 4159 . . 3 ((𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹𝑘) = 0)))
4038, 39sylibr 224 . 2 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹𝑘), 0))
4112sselda 3636 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → 𝑘𝑆)
424ffvelrnda 6399 . . 3 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4341, 42syldan 486 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
441, 2, 3, 12, 40, 43fsumcvg3 14504 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604  ifcif 4119  {csn 4210  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143   “ cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  seqcseq 12841   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263 This theorem is referenced by:  eulerpartlems  30550
 Copyright terms: Public domain W3C validator