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Theorem fsumcube 14911
 Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Distinct variable group:   𝑇,𝑘

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 11423 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 fsumkthpow 14907 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
31, 2mpan 708 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
4 df-4 11194 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
54oveq1i 6775 . . . . 5 (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = ((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1))
64oveq1i 6775 . . . . 5 (4 BernPoly 0) = ((3 + 1) BernPoly 0)
75, 6oveq12i 6777 . . . 4 ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = (((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0))
87, 4oveq12i 6777 . . 3 (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1))
9 nn0cn 11415 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℂ)
10 peano2cn 10321 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
12 bpoly4 14910 . . . . . . 7 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
14 4nn 11300 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℕ
15 0exp 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ ℕ → (0↑4) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0↑4) = 0
17 3nn 11299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
18 0exp 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0↑3) = 0
2019oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (0↑3)) = (2 · 0)
21 2t0e0 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 0) = 0
2220, 21eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (0↑3)) = 0
2316, 22oveq12i 6777 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = (0 − 0)
24 0m0e0 11243 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 0) = 0
2523, 24eqtri 2746 . . . . . . . . . . 11 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = 0
26 sq0 13070 . . . . . . . . . . 11 (0↑2) = 0
2725, 26oveq12i 6777 . . . . . . . . . 10 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = (0 + 0)
28 00id 10324 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2927, 28eqtri 2746 . . . . . . . . 9 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = 0
3029oveq1i 6775 . . . . . . . 8 ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)) = (0 − (1 / 30))
31 0cn 10145 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
32 bpoly4 14910 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30))
34 df-neg 10382 . . . . . . . 8 -(1 / 30) = (0 − (1 / 30))
3530, 33, 343eqtr4i 2756 . . . . . . 7 (4 BernPoly 0) = -(1 / 30)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly 0) = -(1 / 30))
3713, 36oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)))
38 4nn0 11424 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
39 expcl 12993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
4038, 39mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
41 2cn 11204 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
42 expcl 12993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
431, 42mpan2 709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
44 mulcl 10133 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4541, 43, 44sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4640, 45subcld 10505 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) ∈ ℂ)
47 sqcl 13040 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
4846, 47addcld 10172 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
509, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
51 0nn0 11420 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
521, 51deccl 11625 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℕ0
5352nn0cni 11417 . . . . . . . 8 30 ∈ ℂ
5452nn0rei 11416 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℝ
55 10pos 11628 . . . . . . . . . 10 0 < 10
5617, 51, 51, 55declti 11659 . . . . . . . . 9 0 < 30
5754, 56gt0ne0ii 10677 . . . . . . . 8 30 ≠ 0
5853, 57reccli 10868 . . . . . . 7 (1 / 30) ∈ ℂ
59 subcl 10393 . . . . . . 7 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
6050, 58, 59sylancl 697 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
61 subneg 10443 . . . . . 6 (((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
6260, 58, 61sylancl 697 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
63 npcan 10403 . . . . . . . 8 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
6449, 58, 63sylancl 697 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℂ → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
659, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
66 2p2e4 11257 . . . . . . . . . . 11 (2 + 2) = 4
6766eqcomi 2733 . . . . . . . . . 10 4 = (2 + 2)
6867oveq2i 6776 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1)↑4) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 2))
69 df-3 11193 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
7069oveq2i 6776 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1)↑3) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))
7170oveq2i 6776 . . . . . . . . 9 (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) = (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))
7268, 71oveq12i 6777 . . . . . . . 8 (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) = (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))))
7372oveq1i 6775 . . . . . . 7 ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2))
74 2nn0 11422 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
75 expadd 13017 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
7674, 74, 75mp3an23 1529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
77 1nn0 11421 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
78 expadd 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
7974, 77, 78mp3an23 1529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
8079oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))) = (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))))
8176, 80oveq12d 6783 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8310sqcld 13121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
8483mulid1d 10170 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · 1) = ((𝑇 + 1)↑2))
8584eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇 + 1)↑2) · 1))
8682, 85oveq12d 6783 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
8710exp1d 13118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) = (𝑇 + 1))
8887oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑1)) = (2 · (𝑇 + 1)))
8988oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1))))
9089oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9187, 10eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ)
92 mul12 10315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ) → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9341, 83, 91, 92mp3an2i 1542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9493oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))))
95 mulcl 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9641, 10, 95sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9783, 83, 96subdid 10599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9890, 94, 973eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))))
9998oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10083, 96subcld 10505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ)
101 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
102 adddi 10138 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
103101, 102mp3an3 1526 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10483, 100, 103syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10599, 104eqtr4d 2761 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)))
106 adddi 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
10741, 101, 106mp3an13 1528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
108 2t1e2 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
109108oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑇) + 2)
110107, 109syl6eq 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + 2))
111110oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑇) + 2) − 1))
112 mulcl 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
11341, 112mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
114 addsubass 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
11541, 101, 114mp3an23 1529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
117 2m1e1 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 1) = 1
118117oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑇) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑇) + 1)
119116, 118syl6eq 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
120111, 119eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
121120oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)))
122 subsub 10424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
123101, 122mp3an3 1526 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
12483, 96, 123syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
125 sqcl 13040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
126 peano2cn 10321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
127113, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
128 binom21 13095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1))
129 addass 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
130101, 129mp3an3 1526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
131125, 113, 130syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
132128, 131eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
133125, 127, 132mvrraddd 10558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)) = (𝑇↑2))
134121, 124, 1333eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1) = (𝑇↑2))
135134oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)))
13683, 125mulcomd 10174 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
137105, 135, 1363eqtrd 2762 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
13886, 137eqtrd 2758 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
1399, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14073, 139syl5eq 2770 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14165, 140eqtrd 2758 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14237, 62, 1413eqtrd 2762 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
143142oveq1d 6780 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1448, 143syl5eqr 2772 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1453, 144eqtrd 2758 1 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   − cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  ℕcn 11133  2c2 11183  3c3 11184  4c4 11185  ℕ0cn0 11405  ;cdc 11606  ...cfz 12440  ↑cexp 12975  Σcsu 14536   BernPoly cbp 14897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-bpoly 14898 This theorem is referenced by: (None)
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