Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumconst 14729
 Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐴). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mul02 10416 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
21adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
32eqcomd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 = (0 · 𝐵))
4 sumeq1 14627 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5 sum0 14660 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
64, 5syl6eq 2821 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
7 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
8 hash0 13360 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
97, 8syl6eq 2821 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
109oveq1d 6808 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
116, 10eqeq12d 2786 . . 3 (𝐴 = ∅ → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵) ↔ 0 = (0 · 𝐵)))
123, 11syl5ibrcom 237 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
13 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14 simprl 754 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
16 simpllr 760 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simplr 752 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 elfznn 12577 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6611 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2017, 18, 19syl2an 583 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2113, 14, 15, 16, 20fsum 14659 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
22 ser1const 13064 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
2322ad2ant2lr 742 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
2421, 23eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
2524expr 444 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
2625exlimdv 2013 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
2726expimpd 441 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
28 fz1f1o 14649 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
2928adantr 466 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3012, 27, 29mpjaod 849 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∅c0 4063  {csn 4316   × cxp 5247  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  ℕcn 11222  ...cfz 12533  seqcseq 13008  ♯chash 13321  Σcsu 14624 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625 This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  14730  o1fsum  14752  hashiun  14761  hash2iun1dif1  14763  climcndslem1  14788  climcndslem2  14789  harmonic  14798  mertenslem1  14823  sumhash  15807  cshwshashnsame  16017  lagsubg2  17863  sylow2a  18241  lebnumlem3  22982  uniioombllem4  23574  birthdaylem2  24900  basellem8  25035  0sgm  25091  musum  25138  chtleppi  25156  vmasum  25162  logfac2  25163  chpval2  25164  chpchtsum  25165  chpub  25166  logfaclbnd  25168  dchrsum2  25214  sumdchr2  25216  lgsquadlem1  25326  chebbnd1lem1  25379  chtppilimlem1  25383  dchrmusum2  25404  dchrisum0flblem1  25418  rpvmasum2  25422  dchrisum0lem2a  25427  mudivsum  25440  mulogsumlem  25441  selberglem2  25456  pntlemj  25513  rusgrnumwwlks  27123  fusgrhashclwwlkn  27237  fusgreghash2wsp  27520  numclwwlk6  27589  reprlt  31037  hashreprin  31038  reprgt  31039  hgt750lema  31075  rrndstprj2  33962  stoweidlem11  40745  stoweidlem26  40760  stoweidlem38  40772  dirkertrigeq  40835  fourierdlem73  40913  etransclem32  41000  rrndistlt  41027  sge0rpcpnf  41155  hoiqssbllem2  41357  nn0mulfsum  42946  amgmlemALT  43080
 Copyright terms: Public domain W3C validator