MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2d 14546
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsum2d.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum2d (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝐷,𝑗,𝑘   𝑧,𝐶   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3657 . 2 𝐴𝐴
2 fsum2d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
5 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
65sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
74, 6eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
83, 7imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
98imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
10 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝐴𝑥𝐴))
11 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶)
12 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵))
1312sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
1411, 13eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
1510, 14imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
1615imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
17 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴))
18 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶)
19 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵))
2019sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2118, 20eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2217, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
2322imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
24 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
25 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
26 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2726sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2825, 27eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2924, 28imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
3029imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
31 sum0 14496 . . . . . 6 Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷 = 0
32 0iun 4609 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
3332sumeq1i 14472 . . . . . 6 Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷
34 sum0 14496 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2684 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷
36352a1i 12 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
37 ssun1 3809 . . . . . . . . . 10 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦})
38 sstr 3644 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3937, 38mpan 706 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴𝑥𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
42 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝜑)
4342, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4542, 44sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4742, 46sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑦𝑥)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴)
50 biid 251 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 14545 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5251exp31 629 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5352a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5440, 53syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5554expcom 450 . . . . . 6 𝑦𝑥 → (𝜑 → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5655a2d 29 . . . . 5 𝑦𝑥 → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5756adantl 481 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 8242 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
592, 58mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
601, 59mpi 20 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   ciun 4552   × cxp 5141  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  fsumxp  14547  fsumcom2  14549  fsumcom2OLD  14550  ovoliunlem1  23316  fsumvma  24983  fsumiunle  29703  eulerpartlemgs2  30570  dvnprodlem2  40480
  Copyright terms: Public domain W3C validator