Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 22875
 Description: Version of fsumcn 22874 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . . 4 𝑢Σ𝑘𝐴 𝐵
2 nfcv 2902 . . . 4 𝑣Σ𝑘𝐴 𝐵
3 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥𝐴
4 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥𝑣
5 nfcsb1v 3690 . . . . . 6 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
64, 5nfcsb 3692 . . . . 5 𝑥𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
73, 6nfsum 14620 . . . 4 𝑥Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
8 nfcv 2902 . . . . 5 𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3690 . . . . 5 𝑦𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
108, 9nfsum 14620 . . . 4 𝑦Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
11 csbeq1a 3683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
12 csbeq1a 3683 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1311, 12sylan9eq 2814 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1413sumeq2sdv 14634 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 6899 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
16 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
17 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 7344 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) = 𝑣)
1918csbeq1d 3681 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
2016, 17op1std 7343 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) = 𝑢)
2120csbeq1d 3681 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
2221csbeq2dv 4135 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2319, 22eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2423sumeq2sdv 14634 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2524mpt2mpt 6917 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2615, 25eqtr4i 2785 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30 txtopon 21596 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
3128, 29, 30syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑢𝐵
34 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑣𝐵
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 6899 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3623mpt2mpt 6917 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3735, 36eqtr4i 2785 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38syl5eqelr 2844 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 22874 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40syl5eqel 2843 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ⦋csb 3674  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  1st c1st 7331  2nd c2nd 7332  Fincfn 8121  Σcsu 14615  TopOpenctopn 16284  ℂfldccnfld 19948  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230   ×t ctx 21565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328 This theorem is referenced by:  dipcn  27884
 Copyright terms: Public domain W3C validator