MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnd 6292
Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsnd.a (𝜑𝐴𝑉)
fsnd.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsnd (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd
StepHypRef Expression
1 fsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 fsnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
31, 2jca 555 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
4 f1sng 6291 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
5 f1f 6214 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
63, 4, 53syl 18 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2103  {csn 4285  cop 4291  wf 5997  1-1wf1 5998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-br 4761  df-opab 4821  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008
This theorem is referenced by:  1fv  12573  snopiswrd  13421  frgpcyg  20045  mat1dimmul  20405  pt1hmeo  21732  upgr1e  26128  1hevtxdg1  26533  wlkp1  26709  wlkl0  27449  reprsuc  30923  breprexplema  30938  nnsum3primesprm  42105
  Copyright terms: Public domain W3C validator