Theorem fsn2 6443

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsn2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsn2	⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	snid 4241	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
3		ffvelrn 6397	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4	2, 3	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		ffn 6083	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹 Fn {𝐴})
6		dffn3 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
7	6	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
8		imadmrn 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
9		fndm 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
10	9	imaeq2d 5501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
11	8, 10	syl5eqr 2699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
12		fnsnfv 6297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	2, 12	mpan2 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
14	11, 13	eqtr4d 2688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
15	14	feq3d 6070	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
16	7, 15	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
18	4, 17	jca 553	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
19		snssi 4371	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
20		fss 6094	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ∧ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
21	20	ancoms 468	. . . 4 ⊢ (({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
22	19, 21	sylan 487	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
23	18, 22	impbii 199	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
24		fvex 6239	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
25	1, 24	fsn 6442	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
26	25	anbi2i 730	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
27	23, 26	bitri 264	1 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ⟨cop 4216  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934

This theorem is referenced by:  fsn2g  6445  fnressn  6465  fressnfv  6467  mapsnconst  7945  elixpsn  7989  en1  8064  mat1dimelbas  20325  0spth  27104  ldepsnlinclem1  42619  ldepsnlinclem2  42620