MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frsuc 7478
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frsuc (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Proof of Theorem frsuc
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 7459 . . . . 5 Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2 limomss 7018 . . . . 5 (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
43sseli 3584 . . 3 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
5 rdgsucg 7465 . . 3 (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
64, 5syl 17 . 2 (𝐵 ∈ ω → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
7 peano2b 7029 . . 3 (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8 fvres 6165 . . 3 (suc 𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
97, 8sylbi 207 . 2 (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
10 fvres 6165 . . 3 (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵))
1110fveq2d 6154 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
126, 9, 113eqtr4d 2670 1 (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  wss 3560  dom cdm 5079  cres 5081  Lim wlim 5686  suc csuc 5687  cfv 5850  ωcom 7013  reccrdg 7451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452
This theorem is referenced by:  frsucmpt  7479  frsucmptn  7480  seqomlem1  7491  seqomlem4  7494  onasuc  7554  onmsuc  7555  onesuc  7556  inf3lemc  8468  alephfplem2  8873  ackbij2lem2  9007  infpssrlem2  9071  fin23lem34  9113  fin23lem35  9114  itunisuc  9186  om2uzrdg  12692  uzrdgsuci  12696
  Copyright terms: Public domain W3C validator