MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord0 27320
Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord0 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 27240 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
21anim1i 591 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3 frrusgrord0.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43isfusgr 26255 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
52, 4sylibr 224 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
63fusgreghash2wsp 27318 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
75, 6stoic3 1741 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
87imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
93frgrhash2wsp 27312 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
109eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = (#‘(2 WSPathsN 𝐺)))
1110eqeq1d 2653 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12113adant3 1101 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
1312adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
143frrusgrord0lem 27319 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
15 peano2cnm 10385 . . . . . . . 8 ((#‘𝑉) ∈ ℂ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
17 kcnktkm1cn 10499 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
18173ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
19 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
20 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (#‘𝑉) ≠ 0)
2116, 18, 19, 20mulcand 10698 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
22 npcan1 10493 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℂ → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = (#‘𝑉))
23 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
2422, 23sylan9req 2706 . . . . . . . 8 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ ((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
2524ex 449 . . . . . . 7 ((#‘𝑉) ∈ ℂ → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
26253ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2721, 26sylbid 230 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2814, 27syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2913, 28sylbird 250 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
308, 29mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3130ex 449 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  2c2 11108  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  USGraphcusgr 26089  FinUSGraphcfusgr 26253  VtxDegcvtxdg 26417   WSPathsN cwwspthsn 26776   FriendGraph cfrgr 27236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-ushgr 25999  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-fusgr 26254  df-nbgr 26270  df-vtxdg 26418  df-wlks 26551  df-wlkson 26552  df-trls 26645  df-trlson 26646  df-pths 26668  df-spths 26669  df-pthson 26670  df-spthson 26671  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-wwlksnon 26780  df-wspthsn 26781  df-wspthsnon 26782  df-frgr 27237
This theorem is referenced by:  frrusgrord  27321
  Copyright terms: Public domain W3C validator