Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord 27520
 Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 27519, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 26688). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrrgr 26693 . . . . . . 7 (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺RegGraph𝐾)
2 frrusgrord0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2770 . . . . . . . 8 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
42, 3rgrprop 26690 . . . . . . 7 (𝐺RegGraph𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐺RegUSGraph𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
65simprd 477 . . . . 5 (𝐺RegUSGraph𝐾 → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
72frrusgrord0 27519 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
86, 7syl5 34 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺RegUSGraph𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
983expb 1112 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐺RegUSGraph𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
109expcom 398 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺RegUSGraph𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
1110impd 396 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∅c0 4061   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   − cmin 10467  ℕ0*cxnn0 11564  ♯chash 13320  Vtxcvtx 26094  VtxDegcvtxdg 26595  RegGraphcrgr 26685  RegUSGraphcrusgr 26686   FriendGraph cfrgr 27435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-ifp 1049  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-ac 9138  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-vtx 26096  df-iedg 26097  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-ushgr 26174  df-upgr 26197  df-umgr 26198  df-uspgr 26266  df-usgr 26267  df-fusgr 26431  df-nbgr 26447  df-vtxdg 26596  df-rgr 26687  df-rusgr 26688  df-wlks 26729  df-wlkson 26730  df-trls 26823  df-trlson 26824  df-pths 26846  df-spths 26847  df-pthson 26848  df-spthson 26849  df-wwlks 26957  df-wwlksn 26958  df-wwlksnon 26959  df-wspthsn 26960  df-wspthsnon 26961  df-frgr 27436 This theorem is referenced by:  numclwwlk7  27584  frgrregord013  27588
 Copyright terms: Public domain W3C validator