Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrlem5c 31770
Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of 𝐵 is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1 𝑅 Fr 𝐴
frrlem5.2 𝑅 Se 𝐴
frrlem5.3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))))}
Assertion
Ref Expression
frrlem5c (𝐶𝐵 → Fun 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables 𝑔 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4456 . 2 (𝐶𝐵 𝐶 𝐵)
2 ssid 3622 . . . 4 𝐵𝐵
3 frrlem5.1 . . . . 5 𝑅 Fr 𝐴
4 frrlem5.2 . . . . 5 𝑅 Se 𝐴
5 frrlem5.3 . . . . 5 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))))}
63, 4, 5frrlem5b 31769 . . . 4 (𝐵𝐵 → Rel 𝐵)
72, 6ax-mp 5 . . 3 Rel 𝐵
8 eluni 4437 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑔(⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
9 df-br 4652 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐵𝑢 ↔ ⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝐵)
10 df-br 4652 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑔𝑢 ↔ ⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔)
1110anbi1i 731 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
1211exbii 1773 . . . . . . . . 9 (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ↔ ∃𝑔(⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
138, 9, 123bitr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵𝑢 ↔ ∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵))
14 eluni 4437 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃(⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
15 df-br 4652 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐵𝑣 ↔ ⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
16 df-br 4652 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑣 ↔ ⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ )
1716anbi1i 731 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑣𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
1817exbii 1773 . . . . . . . . 9 (∃(𝑥𝑣𝐵) ↔ ∃(⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
1914, 15, 183bitr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵𝑣 ↔ ∃(𝑥𝑣𝐵))
2013, 19anbi12i 733 . . . . . . 7 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) ↔ (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ ∃(𝑥𝑣𝐵)))
21 eeanv 2181 . . . . . . 7 (∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) ↔ (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ ∃(𝑥𝑣𝐵)))
2220, 21bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) ↔ ∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)))
233, 4, 5frrlem5 31768 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝐵𝐵) → ((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
2423impcom 446 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) ∧ (𝑔𝐵𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2524an4s 869 . . . . . . 7 (((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2625exlimivv 1859 . . . . . 6 (∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2722, 26sylbi 207 . . . . 5 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
2827ax-gen 1721 . . . 4 𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
2928gen2 1722 . . 3 𝑥𝑢𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
30 dffun2 5896 . . 3 (Fun 𝐵 ↔ (Rel 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑢𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
317, 29, 30mpbir2an 955 . 2 Fun 𝐵
32 funss 5905 . 2 ( 𝐶 𝐵 → (Fun 𝐵 → Fun 𝐶))
331, 31, 32mpisyl 21 1 (𝐶𝐵 → Fun 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037  wal 1480   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  {cab 2607  wral 2911  wss 3572  cop 4181   cuni 4434   class class class wbr 4651   Fr wfr 5068   Se wse 5069  cres 5114  Rel wrel 5117  Predcpred 5677  Fun wfun 5880   Fn wfn 5881  cfv 5886  (class class class)co 6647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-trpred 31702
This theorem is referenced by:  frrlem10  31775
  Copyright terms: Public domain W3C validator