Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrlem5c 32123
Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of 𝐵 is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1 𝑅 Fr 𝐴
frrlem5.2 𝑅 Se 𝐴
frrlem5.3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
Assertion
Ref Expression
frrlem5c (𝐶𝐵 → Fun 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables 𝑔 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4595 . 2 (𝐶𝐵 𝐶 𝐵)
2 ssid 3773 . . . 4 𝐵𝐵
3 frrlem5.1 . . . . 5 𝑅 Fr 𝐴
4 frrlem5.2 . . . . 5 𝑅 Se 𝐴
5 frrlem5.3 . . . . 5 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
63, 4, 5frrlem5b 32122 . . . 4 (𝐵𝐵 → Rel 𝐵)
72, 6ax-mp 5 . . 3 Rel 𝐵
8 eluni 4577 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑔(⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
9 df-br 4787 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐵𝑢 ↔ ⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝐵)
10 df-br 4787 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑔𝑢 ↔ ⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔)
1110anbi1i 610 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
1211exbii 1924 . . . . . . . . 9 (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ↔ ∃𝑔(⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
138, 9, 123bitr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵𝑢 ↔ ∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵))
14 eluni 4577 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃(⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
15 df-br 4787 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐵𝑣 ↔ ⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
16 df-br 4787 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑣 ↔ ⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ )
1716anbi1i 610 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑣𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
1817exbii 1924 . . . . . . . . 9 (∃(𝑥𝑣𝐵) ↔ ∃(⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
1914, 15, 183bitr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵𝑣 ↔ ∃(𝑥𝑣𝐵))
2013, 19anbi12i 612 . . . . . . 7 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) ↔ (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ ∃(𝑥𝑣𝐵)))
21 eeanv 2344 . . . . . . 7 (∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) ↔ (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ ∃(𝑥𝑣𝐵)))
2220, 21bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) ↔ ∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)))
233, 4, 5frrlem5 32121 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝐵𝐵) → ((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
2423impcom 394 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) ∧ (𝑔𝐵𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2524an4s 639 . . . . . . 7 (((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2625exlimivv 2012 . . . . . 6 (∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2722, 26sylbi 207 . . . . 5 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
2827ax-gen 1870 . . . 4 𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
2928gen2 1871 . . 3 𝑥𝑢𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
30 dffun2 6041 . . 3 (Fun 𝐵 ↔ (Rel 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑢𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
317, 29, 30mpbir2an 690 . 2 Fun 𝐵
32 funss 6050 . 2 ( 𝐶 𝐵 → (Fun 𝐵 → Fun 𝐶))
331, 31, 32mpisyl 21 1 (𝐶𝐵 → Fun 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071  wal 1629   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  {cab 2757  wral 3061  wss 3723  cop 4322   cuni 4574   class class class wbr 4786   Fr wfr 5205   Se wse 5206  cres 5251  Rel wrel 5254  Predcpred 5822  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-trpred 32054
This theorem is referenced by:  frrlem10  32128
  Copyright terms: Public domain W3C validator