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Theorem frpomin 31965
Description: Every (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a founded, partial-ordering, set-like relation 𝑅 has a minimal element. The additional condition of partial ordering over frmin 31969 enables avoiding infinity. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
frpomin (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem frpomin
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4039 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
2 rabeq0 4065 . . . . . . 7 ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3 simprr 813 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
4 breq1 4763 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥𝑤𝑅𝑥))
54notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
65cbvralv 3274 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
7 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥𝑤𝑅𝑧))
87notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
98ralbidv 3088 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
106, 9syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
1110rspcev 3413 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
1211ex 449 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
133, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
142, 13syl5bi 232 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝐵𝐴)
16 simpl3 1208 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
17 sess2 5187 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
1815, 16, 17sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
19 seex 5181 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Se 𝐵𝑧𝐵) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
2018, 3, 19syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21 simpl1 1204 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
22 ssrab2 3793 . . . . . . . . 9 {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
2322, 15syl5ss 3720 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
24 fri 5180 . . . . . . . . 9 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2524expr 644 . . . . . . . 8 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2620, 21, 23, 25syl21anc 1438 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
27 breq1 4763 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
2827rexrab 3476 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
29 breq1 4763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
3029ralrab 3474 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
31 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝑅𝑥)
32 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝑅𝑧)
33 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝐴)
3433ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝐵𝐴)
35 simpll2 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 Po 𝐴)
3635ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑅 Po 𝐴)
37 poss 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐵))
3834, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑅 Po 𝐵)
39 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝐵)
40 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝐵)
41 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑧𝐵)
4241ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑧𝐵)
43 potr 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4438, 39, 40, 42, 43syl13anc 1441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4531, 32, 44mp2and 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝑅𝑧)
4645expr 644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑅𝑧))
4746con3d 148 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
48 idd 24 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4947, 48jad 174 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5049ralimdva 3064 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5130, 50syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5251expimpd 630 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5352reximdva 3119 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5428, 53syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5526, 54syld 47 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5614, 55pm2.61dne 2982 . . . . 5 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5756expr 644 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5857exlimdv 1974 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑧 𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
591, 58syl5bi 232 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6059impr 650 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  Vcvv 3304  wss 3680  c0 4023   class class class wbr 4760   Po wpo 5137   Fr wfr 5174   Se wse 5175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-br 4761  df-po 5139  df-fr 5177  df-se 5178
This theorem is referenced by:  frpomin2  31966
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