MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frnnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frnnn0fsupp 11388
Description: A function on 0 is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
frnnn0fsupp ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem frnnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 c0ex 10072 . . . 4 0 ∈ V
2 frnfsuppbi 8345 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
31, 2mpan2 707 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
43imp 444 . 2 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
5 dfn2 11343 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
65eqcomi 2660 . . . . 5 (ℕ0 ∖ {0}) = ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (ℕ0 ∖ {0}) = ℕ)
87imaeq2d 5501 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))
98eleq1d 2715 . 2 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
104, 9bitrd 268 1 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146  wf 5922  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  0cc0 9974  cn 11058  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  snifpsrbag  19414  psrbagfsupp  19557
  Copyright terms: Public domain W3C validator