Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmin 32073
Description: Every (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a founded, set-like relation 𝑅 has a minimal element. Lemma 4.3 of Don Monk's notes for Advanced Set Theory, which can be found at http://euclid.colorado.edu/~monkd/settheory. This is a very strong generalization of tz6.26 5854 and tz7.5 5887. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frmin (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem frmin
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frss 5216 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Fr 𝐵))
2 sess2 5218 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
31, 2anim12d 588 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵)))
4 n0 4076 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
5 predeq3 5827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
65eqeq1d 2772 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅))
76rspcev 3458 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
87ex 397 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
98adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
10 setlikespec 5844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V)
11 trpredpred 32058 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
12 ssn0 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)
1312ex 397 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
15 trpredss 32059 . . . . . . . . . . . 12 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
1614, 15jctild 509 . . . . . . . . . . 11 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
1710, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
1817adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
19 trpredex 32067 . . . . . . . . . . 11 TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V
20 sseq1 3773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐𝐵 ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵))
21 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ≠ ∅ ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
2220, 21anbi12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) ↔ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
23 predeq2 5826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
2423eqeq1d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
2524rexeqbi1dv 3295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
2622, 25imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) ↔ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅)))
2726imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅)) ↔ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))))
28 dffr4 5839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fr 𝐵 ↔ ∀𝑐((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
29 sp 2206 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑐((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
3028, 29sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
3119, 27, 30vtocl 3408 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
3210, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
34 trpredtr 32060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)))
3534imp 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
36 sspred 5831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
3733, 35, 36syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
3837eqeq1d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
3938biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4039reximdva 3164 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
41 ssrexv 3814 . . . . . . . . . . 11 (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4232, 40, 41sylsyld 61 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4331, 42sylan9r 492 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4418, 43syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4544an31s 625 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
469, 45pm2.61dne 3028 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
4746ex 397 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝑏𝐵 → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4847exlimdv 2012 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑏 𝑏𝐵 → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
494, 48syl5bi 232 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
503, 49syl6com 37 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)))
5150imp32 405 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wal 1628   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061   Fr wfr 5205   Se wse 5206  Predcpred 5822  TrPredctrpred 32047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-trpred 32048
This theorem is referenced by:  frind  32074
  Copyright terms: Public domain W3C validator