Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmin 31713
 Description: Every (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a founded, set-like relation 𝑅 has a minimal element. Lemma 4.3 of Don Monk's notes for Advanced Set Theory, which can be found at http://euclid.colorado.edu/~monkd/settheory. This is a very strong generalization of tz6.26 5699 and tz7.5 5732. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frmin (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem frmin
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frss 5071 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Fr 𝐵))
2 sess2 5073 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
31, 2anim12d 585 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵)))
4 n0 3923 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
5 predeq3 5672 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
65eqeq1d 2622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅))
76rspcev 3304 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
87ex 450 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
98adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
10 setlikespec 5689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V)
11 trpredpred 31702 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
12 ssn0 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)
1312ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
15 trpredss 31703 . . . . . . . . . . . 12 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
1614, 15jctild 565 . . . . . . . . . . 11 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
1710, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
19 trpredex 31711 . . . . . . . . . . 11 TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V
20 sseq1 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐𝐵 ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵))
21 neeq1 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ≠ ∅ ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
2220, 21anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) ↔ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
23 predeq2 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
2423eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
2524rexeqbi1dv 3142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
2622, 25imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) ↔ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅)))
2726imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅)) ↔ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))))
28 dffr4 5684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fr 𝐵 ↔ ∀𝑐((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
29 sp 2051 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑐((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
3028, 29sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
3119, 27, 30vtocl 3254 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
3210, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
34 trpredtr 31704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)))
3534imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
36 sspred 5676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
3733, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
3837eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
3938biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4039reximdva 3014 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
41 ssrexv 3659 . . . . . . . . . . 11 (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4232, 40, 41sylsyld 61 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4331, 42sylan9r 689 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4418, 43syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4544an31s 847 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
469, 45pm2.61dne 2877 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
4746ex 450 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝑏𝐵 → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4847exlimdv 1859 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑏 𝑏𝐵 → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
494, 48syl5bi 232 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
503, 49syl6com 37 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)))
5150imp32 449 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  ∀wal 1479   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∃wrex 2910  Vcvv 3195   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907   Fr wfr 5060   Se wse 5061  Predcpred 5667  TrPredctrpred 31691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-trpred 31692 This theorem is referenced by:  frind  31714
 Copyright terms: Public domain W3C validator