Theorem frmdval 17589

Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdval.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdval.b	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
frmdval.p	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
frmdval	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdval.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		df-frmd 17587	. . . 4 ⊢ freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩}))
4		wrdeq 13513	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Word 𝑖 = Word 𝐼)
5		frmdval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
6	5	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = 𝐵)
7	4, 6	sylan9eqr 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → Word 𝑖 = 𝐵)
8	7	opeq2d 4560	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩)
9	7	sqxpeqd 5298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Word 𝑖 × Word 𝑖) = (𝐵 × 𝐵))
10	9	reseq2d 5551	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		frmdval.p	. . . . . 6 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
12	10, 11	syl6eqr 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = + )
13	12	opeq2d 4560	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩)
14	8, 13	preq12d 4420	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
15		elex 3352	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
16		prex 5058	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V)
18	3, 14, 15, 17	fvmptd 6450	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (freeMnd‘𝐼) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
19	1, 18	syl5eq 2806	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  {cpr 4323  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   ↾ cres 5268  ‘cfv 6049  Word cword 13477   ++ cconcat 13479  ndxcnx 16056  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  freeMndcfrmd 17585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-frmd 17587

This theorem is referenced by:  frmdbas  17590  frmdplusg  17592