MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup3 17611
Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼   𝑚,𝑀   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frmdup3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup3.m . . 3 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2 frmdup3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2770 . . 3 (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
4 simp1 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simp2 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝐼𝑉)
6 simp3 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝐴:𝐼𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6frmdup1 17608 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
84adantr 466 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
95adantr 466 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑉)
106adantr 466 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐴:𝐼𝐵)
11 frmdup3.u . . . . 5 𝑈 = (varFMnd𝐼)
12 simpr 471 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
131, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12frmdup2 17609 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))‘(𝑈𝑦)) = (𝐴𝑦))
1413mpteq2dva 4876 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))‘(𝑈𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐴𝑦)))
15 eqid 2770 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1615, 2mhmf 17547 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
177, 16syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
1811vrmdf 17602 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
19183ad2ant2 1127 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
201, 15frmdbas 17596 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
21203ad2ant2 1127 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
2221feq3d 6172 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
2319, 22mpbird 247 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
24 fcompt 6542 . . . 4 (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))‘(𝑈𝑦))))
2517, 23, 24syl2anc 565 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))‘(𝑈𝑦))))
266feqmptd 6391 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝐴 = (𝑦𝐼 ↦ (𝐴𝑦)))
2714, 25, 263eqtr4d 2814 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
281, 2, 11frmdup3lem 17610 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐴)) → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
2928expr 444 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)) → ((𝑚𝑈) = 𝐴𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))))
3029ralrimiva 3114 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚𝑈) = 𝐴𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))))
31 coeq1 5418 . . . 4 (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) → (𝑚𝑈) = ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∘ 𝑈))
3231eqeq1d 2772 . . 3 (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) → ((𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
3332eqreu 3548 . 2 (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚𝑈) = 𝐴𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚𝑈) = 𝐴)
347, 27, 30, 33syl3anc 1475 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  ∃!wreu 3062  cmpt 4861  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  Word cword 13486  Basecbs 16063   Σg cgsu 16308  Mndcmnd 17501   MndHom cmhm 17540  freeMndcfrmd 17591  varFMndcvrmd 17592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-word 13494  df-lsw 13495  df-concat 13496  df-s1 13497  df-substr 13498  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-frmd 17593  df-vrmd 17594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator