Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdss2 17447
 Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of 𝐽 is Word 𝐽". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdss2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 ↔ Word 𝐽𝐴))

Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐼𝑉)
2 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐽𝐼)
3 sswrd 13345 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
5 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥 ∈ Word 𝐽)
64, 5sseldd 3637 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 𝑈 = (varFMnd𝐼)
97, 8frmdgsum 17446 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
101, 6, 9syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
11 simpl3 1086 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))
12 wrdf 13342 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑥:(0..^(#‘𝑥))⟶𝐽)
1312ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥:(0..^(#‘𝑥))⟶𝐽)
14 frn 6091 . . . . . . . . . 10 (𝑥:(0..^(#‘𝑥))⟶𝐽 → ran 𝑥𝐽)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ran 𝑥𝐽)
16 cores 5676 . . . . . . . . 9 (ran 𝑥𝐽 → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) = (𝑈𝑥))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) = (𝑈𝑥))
188vrmdf 17442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
19183ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
20 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈:𝐼⟶Word 𝐼𝑈 Fn 𝐼)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑈 Fn 𝐼)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑈 Fn 𝐼)
23 fnssres 6042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 Fn 𝐼𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) Fn 𝐽)
2422, 2, 23syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽) Fn 𝐽)
25 df-ima 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐽) = ran (𝑈𝐽)
26 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴)
2725, 26syl5eqssr 3683 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ran (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴)
28 df-f 5930 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐽):𝐽𝐴 ↔ ((𝑈𝐽) Fn 𝐽 ∧ ran (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
2924, 27, 28sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽):𝐽𝐴)
30 wrdco 13623 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ (𝑈𝐽):𝐽𝐴) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) ∈ Word 𝐴)
315, 29, 30syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) ∈ Word 𝐴)
3217, 31eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐴)
33 gsumwsubmcl 17422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) ∈ 𝐴)
3411, 32, 33syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) ∈ 𝐴)
3510, 34eqeltrrd 2731 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥𝐴)
3635expr 642 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑥𝐴))
3736ssrdv 3642 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴) → Word 𝐽𝐴)
3837ex 449 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 → Word 𝐽𝐴))
39 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝐼𝑉)
40 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐽𝐼)
4140sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐼)
428vrmdval 17441 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) = ⟨“𝑥”⟩)
4339, 41, 42syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑈𝑥) = ⟨“𝑥”⟩)
44 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
4544s1cld 13419 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐽)
4643, 45eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽)
4746ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽)
48 fnfun 6026 . . . . . 6 (𝑈 Fn 𝐼 → Fun 𝑈)
4921, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → Fun 𝑈)
50 fndm 6028 . . . . . . 7 (𝑈 Fn 𝐼 → dom 𝑈 = 𝐼)
5121, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → dom 𝑈 = 𝐼)
5240, 51sseqtr4d 3675 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
53 funimass4 6286 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽))
5449, 52, 53syl2anc 694 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽))
5547, 54mpbird 247 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽)
56 sstr2 3643 . . 3 ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 → (Word 𝐽𝐴 → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
5755, 56syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (Word 𝐽𝐴 → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
5838, 57impbid 202 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 ↔ Word 𝐽𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs1 13326   Σg cgsu 16148  SubMndcsubmnd 17381  freeMndcfrmd 17431  varFMndcvrmd 17432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-frmd 17433  df-vrmd 17434 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator