MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdplusg 17592
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+g𝑀)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
42, 3frmdbas 17590 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5 eqid 2760 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
62, 4, 5frmdval 17589 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
76fveq2d 6356 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
81, 7syl5eq 2806 . . 3 (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9 wrdexg 13501 . . . 4 (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 13544 . . . . . . 7 ++ Fn (V × V)
11 xpss 5282 . . . . . . 7 (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12 fnssres 6165 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
1310, 11, 12mp2an 710 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14 ovres 6965 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 17591 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 17591 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 13546 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2a 3115 . . . . . 6 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 6929 . . . . . 6 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 993 . . . . 5 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
23 fvex 6362 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) ∈ V
243, 23eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2524, 24xpex 7127 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
26 fex2 7286 . . . . 5 ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
2722, 25, 26mp3an12 1563 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
28 eqid 2760 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
2928grpplusg 16194 . . . 4 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
309, 27, 293syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
318, 30eqtr4d 2797 . 2 (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32 fvprc 6346 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
332, 32syl5eq 2806 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
3433fveq2d 6356 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘∅))
351, 34syl5eq 2806 . . . 4 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
36 res0 5555 . . . . 5 ( ++ ↾ ∅) = ∅
37 df-plusg 16156 . . . . . 6 +g = Slot 2
3837str0 16113 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
3936, 38eqtr2i 2783 . . . 4 (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
4035, 39syl6eq 2810 . . 3 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
4133fveq2d 6356 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
42 base0 16114 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
4341, 3, 423eqtr4g 2819 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
4443xpeq2d 5296 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
45 xp0 5710 . . . . 5 (𝐵 × ∅) = ∅
4644, 45syl6eq 2810 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
4746reseq2d 5551 . . 3 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
4840, 47eqtr4d 2797 . 2 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4931, 48pm2.61i 176 1 + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  {cpr 4323  cop 4327   × cxp 5264  cres 5268   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  2c2 11262  Word cword 13477   ++ cconcat 13479  ndxcnx 16056  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  freeMndcfrmd 17585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-frmd 17587
This theorem is referenced by:  frmdadd  17593
  Copyright terms: Public domain W3C validator