MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdgsum 17446
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5313 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2 co02 5687 . . . . . . 7 (𝑈 ∘ ∅) = ∅
31, 2syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = ∅)
43oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
64, 5eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8 coeq2 5313 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5313 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1413oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
1614, 15eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18 coeq2 5313 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑊))
1918oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑊)))
20 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
2119, 20eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
2221imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2423frmd0 17444 . . . . 5 ∅ = (0g𝑀)
2524gsum0 17325 . . . 4 (𝑀 Σg ∅) = ∅
2625a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27 oveq1 6697 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
3029s1cld 13419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (varFMnd𝐼)
3231vrmdf 17442 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34 ccatco 13627 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36 s1co 13625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3729, 33, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3831vrmdval 17441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
3938adantrl 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
4039s1eqd 13417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“(𝑈𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4137, 40eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4241oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4335, 42eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4443oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
4523frmdmnd 17443 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 13623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5023, 49frmdbas 17436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52 wrdeq 13359 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
5530, 51eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
5655s1cld 13419 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
5849, 57gsumccat 17425 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
6049gsumws1 17423 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩))
6349gsumwcl 17424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6446, 54, 63syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6523, 49, 57frmdadd 17439 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6664, 55, 65syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6762, 66eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6859, 67eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6944, 68eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
7069eqeq1d 2653 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7127, 70syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7271expcom 450 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → (𝐼𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦) → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 13522 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
7574impcom 445 1 ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  freeMndcfrmd 17431  varFMndcvrmd 17432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-frmd 17433  df-vrmd 17434
This theorem is referenced by:  frmdss2  17447  frmdup3lem  17450  frgpup3lem  18236
  Copyright terms: Public domain W3C validator