MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup4 20338
Description: Universal property of the free module by existential uniquenes. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup4.r 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
frlmup4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup4.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2756 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3 frlmup4.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 eqid 2756 . . . 4 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5 eqid 2756 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))
6 simp1 1131 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7 simp2 1132 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐼𝑋)
8 frlmup4.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
98a1i 11 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10 simp3 1133 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴:𝐼𝐶)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10frlmup1 20335 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12 ovex 6837 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)) ∈ V
1312, 5fnmpti 6179 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹))
158lmodring 19069 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
16153ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
17 frlmup4.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1817, 1, 2uvcff 20328 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
1916, 7, 18syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
20 ffn 6202 . . . . . 6 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
22 frn 6210 . . . . . 6 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
2319, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
24 fnco 6156 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
2514, 21, 23, 24syl3anc 1477 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
26 ffn 6202 . . . . 5 (𝐴:𝐼𝐶𝐴 Fn 𝐼)
27263ad2ant3 1130 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
2819adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
2928, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
30 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
31 fvco2 6431 . . . . . 6 ((𝑈 Fn 𝐼𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
3229, 30, 31syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
33 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
34 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑋)
358a1i 11 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
36 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐴:𝐼𝐶)
371, 2, 3, 4, 5, 33, 34, 35, 36, 30, 17frlmup2 20336 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)) = (𝐴𝑦))
3832, 37eqtrd 2790 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴𝑦))
3925, 27, 38eqfnfvd 6473 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
40 coeq1 5431 . . . . 5 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → (𝑚𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
4140eqeq1d 2758 . . . 4 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → ((𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
4241rspcev 3445 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
4311, 39, 42syl2anc 696 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
44 ffun 6205 . . . . 5 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → Fun 𝑈)
4519, 44syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → Fun 𝑈)
46 funcoeqres 6324 . . . . . 6 ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
4746ex 449 . . . . 5 (Fun 𝑈 → ((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4847ralrimivw 3101 . . . 4 (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4945, 48syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
50 eqid 2756 . . . . . . 7 (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
511, 17, 50frlmlbs 20334 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
5216, 7, 51syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
53 eqid 2756 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
542, 50, 53lbssp 19277 . . . . 5 (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
5552, 54syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
562, 53lspextmo 19254 . . . 4 ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
5723, 55, 56syl2anc 696 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
58 rmoim 3544 . . 3 (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
5949, 57, 58sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
60 reu5 3294 . 2 (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
6143, 59, 60sylanbrc 701 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  wrex 3047  ∃!wreu 3048  ∃*wrmo 3049  wss 3711  cmpt 4877  ccnv 5261  ran crn 5263  cres 5264  ccom 5266  Fun wfun 6039   Fn wfn 6040  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  𝑓 cof 7056  Basecbs 16055  Scalarcsca 16142   ·𝑠 cvsca 16143   Σg cgsu 16299  Ringcrg 18743  LModclmod 19061  LSpanclspn 19169   LMHom clmhm 19217  LBasisclbs 19272   freeLMod cfrlm 20288   unitVec cuvc 20319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-hash 13308  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-hom 16164  df-cco 16165  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-prds 16306  df-pws 16308  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-mhm 17532  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-mulg 17738  df-subg 17788  df-ghm 17855  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19170  df-lmhm 19220  df-lbs 19273  df-sra 19370  df-rgmod 19371  df-nzr 19456  df-dsmm 20274  df-frlm 20289  df-uvc 20320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator