MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup3 20361
Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
frlmup.k 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
frlmup3 (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 frlmup.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 frlmup.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝑇)
5 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)))
6 frlmup.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
7 frlmup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑋)
8 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9 frlmup.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9frlmup1 20359 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
1211lmodring 19093 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
148, 13eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 2uvcff 20352 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼𝐵)
1714, 7, 16syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼𝐵)
18 frn 6214 . . . 4 ((𝑅 unitVec 𝐼):𝐼𝐵 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵)
20 eqid 2760 . . . 4 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
21 frlmup.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
222, 20, 21lmhmlsp 19271 . . 3 ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
2310, 19, 22syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
242, 3lmhmf 19256 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸:𝐵𝐶)
2510, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
26 ffn 6206 . . . . 5 (𝐸:𝐵𝐶𝐸 Fn 𝐵)
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
28 fnima 6171 . . . 4 (𝐸 Fn 𝐵 → (𝐸𝐵) = ran 𝐸)
2927, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐵) = ran 𝐸)
30 eqid 2760 . . . . . . . 8 (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
311, 15, 30frlmlbs 20358 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
3214, 7, 31syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
332, 30, 20lbssp 19301 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
3432, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
3534eqcomd 2766 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
3635imaeq2d 5624 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐵) = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
3729, 36eqtr3d 2796 . 2 (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
38 imaco 5801 . . . 4 ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼))
39 ffn 6206 . . . . . . . 8 (𝐴:𝐼𝐶𝐴 Fn 𝐼)
409, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
41 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((𝑅 unitVec 𝐼):𝐼𝐵 → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
4217, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
43 fnco 6160 . . . . . . . 8 ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
4427, 42, 19, 43syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
45 fvco2 6436 . . . . . . . . 9 (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼𝑢𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
4642, 45sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
476adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
487adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝐼𝑋)
498adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
509adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝐴:𝐼𝐶)
51 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝑢𝐼)
521, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 49, 50, 51, 15frlmup2 20360 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐼) → (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)) = (𝐴𝑢))
5346, 52eqtr2d 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐼) → (𝐴𝑢) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢))
5440, 44, 53eqfnfvd 6478 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
5554imaeq1d 5623 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼))
56 fnima 6171 . . . . . 6 (𝐴 Fn 𝐼 → (𝐴𝐼) = ran 𝐴)
5740, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐼) = ran 𝐴)
5855, 57eqtr3d 2796 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = ran 𝐴)
59 fnima 6171 . . . . . 6 ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
6042, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
6160imaeq2d 5624 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼)) = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
6238, 58, 613eqtr3a 2818 . . 3 (𝜑 → ran 𝐴 = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
6362fveq2d 6357 . 2 (𝜑 → (𝐾‘ran 𝐴) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
6423, 37, 633eqtr4d 2804 1 (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cmpt 4881  ran crn 5267  cima 5269  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167   Σg cgsu 16323  Ringcrg 18767  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193   LMHom clmhm 19241  LBasisclbs 19296   freeLMod cfrlm 20312   unitVec cuvc 20343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lmhm 19244  df-lbs 19297  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-nzr 19480  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-uvc 20344
This theorem is referenced by:  ellspd  20363  indlcim  20401  lnrfg  38209
  Copyright terms: Public domain W3C validator